Алгебра

Справочник

Гл.1 Гл.2 Гл.3 Гл.4

Гл.5 Гл.6 Гл.7 Гл.8

Гл.9 Гл.10 Гл.11

Гл.12 Гл.13 Гл.14

 

 

Вам, возможно, сюда?

Глава XI. Тригонометрические уравнения.
§XI.10. Тригонометрические Уравнения, решаемые подстановкой корня или возведением в квадрат.

Иногда возникают ситуации, когда Вы ничего не можете сделать с тригонометрическим уравнением. В этом случае Вам ничего не останется, как свести все уравнение к многочлену, содержащему синусы, косинусы или тангенсы. При этом используются формулы для тригонометрических функций кратных углов. Дальнейшие Ваши действия зависят от того, какие функции, присутствуют в многочлене.

Если в многочлене имеется только один вид тригонометрических функций, тогда производится замена переменной и решается алгебраическое уравнение. Причем единственным методом его решения может оказаться перебор возможных корней, среди которых в тригонометрических задачах обычно присутствуют

но могут быть и другие корни.

Если в уравнении присутствуют тангенсы, тогда делается простая замена tg x= sin x: cos x, с последующим приведением к общему знаменателю.

 

Если после этого в уравнении остались синусы и косинусы, и уравнение точно не является однородным, тогда выбирается функция, к которой будет уравнение сведено, причем правильнее выбрать ту функцию, которая присутствует в нечетной степени. Например, к косинусам нужно переходить в уравнении :

sin 4 x + cos 3 x – sin 2 x cos 2 x + 3 cos x = 1

Затем заменяют квадраты и более высокие четные степени другой функции, согласно основному тригонометрическому тождеству, например :
sin 2 x = 1 – cos 2 x; а также:
sin 4 x = 1 – 2 cos 2 x + cos 4 x.

 

Если теперь в уравнении осталась заменяемая функция в нечетной степени, мы можем смело переносить ее в другую часть уравнения, выносить за скобки эту функцию в первой степени, заменять на корень ( или ), а затем возводить в квадрат. Например, уравнение

может быть преобразовано при переходе к уравнению содержащему только синус следующим образом:

Возведение в квадрат приведет к появлению лишних корней, которые нужно будет отбросить при проверке.

( Обратите Ваше внимание! Замена через корень с последующим возведением в квадрат эквивалентна возведению в квадрат, с последующей заменой с использованием основного тождества. Поэтому, если Вам это проще, можете проводить сначала возведение в квадрат, а потом – замену. )

Назад.Вперед.В раздел: Глава XI. Тригонометрические уравнения.
Рег. № :
Пароль :

или зарегистрироваться
Введите Рег № и Пароль,
а затем выберите
Параграф или № задания,
чтобы увидеть
полный текст или подробное решение

Нужна еще информация? Воспользуйтесь поиском:

     

Coun ters

EaH Math. 2007.