Алгебра

Справочник

Гл.1 Гл.2 Гл.3 Гл.4

Гл.5 Гл.6 Гл.7 Гл.8

Гл.9 Гл.10 Гл.11

Гл.12 Гл.13 Гл.14

 

 

Вам, возможно, сюда?

Глава XI. Тригонометрические уравнения.
§XI.6. Уравнения с суммой тригонометрических функций (в том числе с одинаковым аргументом.)

Формулу перехода от суммы тригонометрических функций к произведению рекомендуется применить, если:

  1. Уравнение имеет вид “Тригонометрическая функция одного аргумента = сходной тригонометрической функции другого аргумента”. Примерами таких уравнений будут:
    sin 3 x = sin 5 x ; tg 2 x = tg 3 x ; sin 3 x = cos x
    В последнем случае перед переходом от разности к произведению нужно преобразовать синус в косинус с использованием основной формулы приведения, т.е. уравнение нужно представить в виде .
  2. Уравнение содержит три слагаемых (причем коэффициент при каждом слагаемом равен 1 и все степени первые), а после использования формулы сложения двух слагаемых, третье слагаемое будет присутствовать в виде сомножителя в произведении. Например, уравнение
    sin 5 x – sin x + sin 2 x = 0
    может быть преобразовано с использованием формулы разности синусов в уравнение:
    2 cos 3 x sin 2 x + sin 2 x = 0
    Откуда легко вынести sin 2 x.
    Признаком применимости формул перехода от суммы к произведению в этом случае является равенство полусуммы или полуразности двух аргументов третьему, причем стоит проверить возможность перехода от суммы к произведению для двух комбинаций: “функция с максимальным аргументом + функция с минимальным аргументом” и “функция с максимальным аргументом + функция со средним аргументом”.
  3. Если уравнение содержит три слагаемых, но коэффициенты одинаковы только у двух, тогда именно к ним стоит попытаться применить формулы перехода от суммы к произведению.
  4. В уравнении, содержащем сумму четырех слагаемых в первой степени, применять формулы перехода к произведению можно, но возникает вопрос в правильной группировке слагаемых, т.е. сгруппировать слагаемые надо таким образом, чтобы из двух получившихся произведений можно было вынести общий множитель. ( Обычно это группировка “самый больший аргумент + самый меньший аргумент”. ) После вынесения общего множителя возможно придется повторить операцию перехода к произведению. Если же коэффициенты совпадают попарно, тогда можно смело попытаться применить переход к произведению для двух пар слагаемых. Например, в уравнении:
    sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = 0
    суммируются первое слагаемое с последним, а второе с третьим, что дает уравнение:
    Из последнего уравнения выносится sin 5x/2, а затем к оставшемуся уравнению:
    cos 1,5 x + cos 0,5 x = 0
    применяется формула суммы косинусов.
  5. Если в уравнении появляются два слагаемых содержащих, причем с равными коэффициентами, синусы или косинусы в первой степени c большими аргументами тогда нужно попытаться применить переход от суммы к произведению для уменьшения аргументов, вместо использования формул сложения и формул для кратных углов.
    Примером такого уравнения могло бы служить:
    sin 17 x – sin x = 4 sin 4 x
    которое можно превратить в 2 sin 8 x cos 9 x = 4 sin 4 x, а затем, применив в левой части синус двойного угла, из уравнения можно вынести 4 sin 4 x.
  6. Если в уравнении имеется выражение вида sin x + cos x, тогда его можно попытаться заменить на или на . Для этого достаточно заменить синус на косинус по формуле приведения и перейти от суммы к произведению. Например, уравнение
    sin x + cos x = 1
    преобразуется таким образом в простейшее уравнение .

Назад.Вперед.В раздел: Глава XI. Тригонометрические уравнения.
Рег. № :
Пароль :

или зарегистрироваться
Введите Рег № и Пароль,
а затем выберите
Параграф или № задания,
чтобы увидеть
полный текст или подробное решение

Нужна еще информация? Воспользуйтесь поиском:

     

Coun ters

EaH Math. 2007.