Алгебра

Справочник

Гл.1 Гл.2 Гл.3 Гл.4

Гл.5 Гл.6 Гл.7 Гл.8

Гл.9 Гл.10 Гл.11

Гл.12 Гл.13 Гл.14

 

 

Вам, возможно, сюда?

Глава V. Иррациональные уравнения и неравенства.
§V.3. Понятие ДУ и лишние корни.

В предшествующем параграфе уже говорилось, что если одна часть иррационального уравнения или неравенства оказывается отрицательной, то возведение в квадрат нарушает соотношение частей уравнения или неравенства.

Поскольку возведение в квадрат делает отрицательную часть иррационального уравнения положительной, то после возведения в квадрат может случиться так, что в некоторой точке обе части уравнения совпадут, хотя на самом деле в этой точке правая и левая часть исходного уравнения будут отличаться знаком. Таким образом, корни, обнаруженные при решении уравнения с помощью возведения в квадрат, могут не оказаться корнями исходного уравнения.

Значит для того, чтобы решить уравнение с квадратными корнями недостаточно применить возведение в квадрат и решить получившееся алгебраическое уравнение. Нужно проверить, являются ли полученные корни ответами. Для этого есть два основных способа:

  1. Если решается обычное иррациональное уравнение, то можно просто подставить полученные корни в исходное уравнение, но здесь могут возникнуть сложности при отсутствии калькулятора.
  2. При решении неравенств или параметрических задач предпочтительнее другой способ: сразу выделить множество тех x, где знаки правой и левой частей выражения, возводимого в квадрат, совпадают. Обычно это множество задается неравенством вида “Часть выражения, не содержащая квадратные корни, ³ 0”. Данное неравенство называется “Дополнительное Условие”, сокращенно ДУ.

Например, при возведении в квадрат уравнения:

Дополнительным условием будет неравенство x – 5 ³ 0, другими словами x О [5, Ґ ).

Дополнительное условие может быть и иррациональным неравенством, например, при возведении в квадрат уравнения:

Дополнительным условием будет . Но этого желательно не допускать, а предварительно преобразовать уравнение. См. учебник.

При возведении в квадрат дополнительные условия могут и не возникать (Это происходила в заданиях предыдущего параграфа). Его не будет если обе части уравнения или неравенства содержат только:

  1. Отдельные квадратные корни.
  2. Суммы квадратных корней.
  3. Квадраты каких-либо выражений.
  4. Суммы квадратов и квадратных корней.
  5. Другие неотрицательные функции, например экспоненту, и их суммы.

Поскольку отсутствие дополнительных условий предпочтительно, то желательно преобразовать уравнение или неравенство так, чтобы они не возникали.

Очень нежелательно, чтобы в одном уравнении и правая, и левая части могли становиться и положительными и отрицательными, поскольку это означает одновременное возникновение четырех дополнительных условий. Поэтому неравенство:

нужно преобразовать в , а затем уже возводить в квадрат, выписав ДУ: .

Назад.Вперед.В раздел: Глава V. Иррациональные уравнения и неравенства.
Рег. № :
Пароль :

или зарегистрироваться
Введите Рег № и Пароль,
а затем выберите
Параграф или № задания,
чтобы увидеть
полный текст или подробное решение

Нужна еще информация? Воспользуйтесь поиском:

     

Coun ters

EaH Math. 2007.