Матанализ

Пределы

Производная

Неопр. Интеграл

Опр. Интеграл

Ряды

Частные производные

Кратный интеграл

Справочник

ТНИ

 

 

Вам, возможно, сюда?

Функциональные ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора. Разложение в степенной ряд.
Формула Тейлора. Аналитические функции. Разложение функции в ряд Тейлора.

Итак, пусть функция f(x) имеет в точке x0 n производных. И будем искать аппроксимирующий ее многочлен степени n вида : .

Чтобы этот многочлен был равен в точке x0 функции f, необходимо, чтобы a0 = f(x0). Далее разумно предположить, что многочлен должен быть в точке x0 аналогом функции f. А это означает, что все производные многочлена и функции f должны быть одинаковы. k-ая производная многочлена P равна k! ak , поэтому .

Таким образом :

Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

 

Теперь положим, что функция f имеет бесконечное число производных. В этом случае оказывается, что формула Тейлора позволяет представить функцию f(x) в виде ряда :

Который, как и формула, называется рядом Тейлора.

Но этот ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Более того, может сложиться такая ситуация, что ряд с коэффициентами, рассчитанными по формуле Тейлора, не будет сходиться к f.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функции, которые раскладываются в степенной ряд носят название аналитических.

Назад.Вперед.
Рег. № :
Пароль :

или зарегистрироваться
Введите Рег № и Пароль,
а затем выберите
Параграф или № задания,
чтобы увидеть
полный текст или подробное решение

Нужна еще информация? Воспользуйтесь поиском:

     

Coun ters

EaH Math. 2007.