Матанализ

Пределы

Производная

Неопр. Интеграл

Опр. Интеграл

Ряды

Частные производные

Кратный интеграл

Справочник

ТНИ

 

 

Вам, возможно, сюда?

Предел функции.
Определение предела функции. Свойства предела функции.

Сначала дадим определение предела функции f, заданной множестве X, входящем в множество действительных чисел (R)>, и отображающей его в множество R, через предел последовательностей:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точку (действительное число) a называют пределом (значений) функции f(x) x О X, в точке х0 ( или, что то же самое, при x à x0 ); если для любой последовательности точек xn О X ; n = 1,2,… , имеющей своим пределом точку x0 , последовательность значений функции в этих точках, т.е. { f(xn) }, имеет своим пределом точку a.

Замечание. Существование предела у всех последовательностей { f(xn) } является необходимым и достаточным условием существования предела функции.

Фразу “Предел значений функции при x, стремящемся к х0, равен a” символически записывают так : .

Если a является конечным числом, говорят, что в точке х0 функция f имеет конечный предел.

 

Существует также определение предела функции через окрестности (определение Коши) :

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точку (действительное число) a называют пределом (значений) функции f(x) x О X, в точке х0 ( или, что то же самое, при x à x0 ); если для любой e окрестности точки a найдется e* окрестность точки x0, такая, что :

т.е.какую бы точку в окрестности x0 мы бы ни взяли, ее образ окажется в окрестности точки a.

 

Свойства предела функции.

  1. Если функция f заданная на множестве Х имеет конечный предел в точке х0, тогда найдется окрестность U этой точки, такая, что функция f будет ограничена на пересечении U и Х.
  2. Если функция f заданная на множестве Х имеет конечный и не равный 0 предел а в точке х0, тогда найдется окрестность U этой точки и положительное число c, такие,
    что при a > 0 на пересечении верно f(x) > c ;
    а при a < 0 на пересечении U и Х верно f(x) < – c.
  3. Если f(x) = C для всех x, тогда предел этой функции равен C. Если f(x) і C для всех x, тогда предел этой функции больше или равен C.
  4. Если g(x) Ј f(x) Ј h(x) и пределы функций g и <h в точке х0 равны между собой и равны a, то предел f(x) в этой точке также равен a.
  5. Если у функцийg(x) и f(x) существуют пределы, равные a и b соответственно, тогда выполняются следующие арифметические свойства пределов :
    Именуемые пределом линейной комбинации (суммы), пределом произведения и пределом отношения.
  6. Для вычисления предела суперпозиции функций g(f(x)) нужно вычислить предел , а затем нужно вычислить предел g(x) при условии, что x à a.

Вперед.
Рег. № :
Пароль :

или зарегистрироваться
Введите Рег № и Пароль,
а затем выберите
Параграф или № задания,
чтобы увидеть
полный текст или подробное решение

Нужна еще информация? Воспользуйтесь поиском:

     

Coun ters

EaH Math. 2007.