Глава I. Квадратные уравнения и неравенства.
§I.3. Замены переменных.

Замена переменной дело сложное и, если уравнение приведено к нормальному виду (многочлен равен нулю), увидеть

замену переменной достаточно сложно. Поэтому, если Вы хотите подобрать замену переменной, постарайтесь сделать

ее сразу, не преобразовывая выражение, поскольку в самом условии задачи может содержаться подсказка.

Делая замену переменной, желательно смотреть может ли вводимая переменная принимать любые значения или на

нее наложены какие-либо ограничения.

См. Пример.

Наиболее известный случай замены переменной – биквадратное уравнение. У которого существует ближайшие

родственники – уравнения вида:

Все эти уравнения решаются с помощью замены t = x^k, причем при четных

kновая переменная может принимать только положительные значения.

Если Вы сразу не увидели замену переменной и преобразовали уравнение к каноническому виду, тогда полезными

могут оказаться следующие замены переменных:

1. В кубическом уравнении можно применить замену , в результате в новом уравнении

   не будет слагаемого, содержащего t².

2. В уравнении четвертой степени замена ведет к уравнению, не содержащему

   t³.

Если мы заменяем переменную в неравенстве, то и ответ первоначально мы получаем для новой переменной. Чтобы

получить ответ для исходной переменной нам потребуется:

1. Сначала пересечь множество допустимых значений новой переменной с множеством решений неравенства для

   новой переменной.

2. Решить для всех интервалов, в которых находится новая переменная двойные неравенства.

См. Пример.