Глава I. Квадратные уравнения и неравенства.
§I.4. Подбор решений и деление многочленов.

Если вы не нашли замену переменной и ничего не смогли вынести за скобки, то решения уравнения степени выше второй можно подобрать. Для этого используют

тот факт, что любой многочлен представляется в виде произведения двучленов, а само уравнение можно привести к виду:

Здесь x₁ , x₂ , ..., x_n – корни уравнения (возможно комплексные), а их число, n, равно степени уравнения. Из этой записи уравнения вытекает такой

способ подбора корней:

1. Сначала делим все коэффициенты уравнения на A, т.е. коэффициент при старшей степени.

2. Если в получившемся уравнении все коэффициенты целые, тогда почти наверное можно считать, что корни уравнения также целые и искать их среди делителей свободного

   члена, просто подставляя эти делители в уравнение.

3. Если коэффициенты уравнения дробные или иррациональные, то задача перебора корней заметно усложняется, но можно определить знаменатель корня или имеющуюся в нем

   иррациональность по знаменателям и иррациональностям в коэффициентах, например если в коэффициентах уравнения присутствует , то один из ответов

   также, вполне вероятно, будет содержать этот корень.

4. Если удалось обнаружить хотя бы один корень уравнения, тогда можно перейти к уравнению меньшей степени, выполнив деление многочленов.

См. Пример.

Деление многочленов “уголком”.

1. Также как при делении чисел выписываются делимое и делитель, например:

2. Определяется коэффициент и степень старшего слагаемого частного таким образом, чтобы при умножении его на старший член делителя получался старший член делимого.

   А затем вычитаем из делимого произведение делителя и полученного члена частного. В нашем примере, чтобы получить 2x⁵ (старший член

   делимого) нужно умножить x² (т.е. старший член делителя) на 2x³:

   

3. В результате вычитания получился многочлен со степенью меньшей на 1, чем степень делимого. Повторив шаг 2 для этого многочлена мы можем получить второй

   член частного и многочлен со степенью меньшей на 2. В нашем случае второй член частного получится равным –9x²:

   

4. Повторяя шаг 2 пока от делимого не останется многочлен со степенью меньшей степени делителя, Мы получим частное (в нашем примере

   ) и остаток. (в нашем примере он равен 284x–95):

   

Заметьте! Если корень уравнения x₁ найден правильно, то многочлен должен по делиться на x – x₁

без остатка.