Глава XI. Тригонометрические уравнения.
§XI.1. Простейшие тригонометрические уравнения.

В этом разделе мы будем рассматривать решение тригонометрических уравнений, т.е. уравнений, содержащих тригонометрические функции (синус, косинус и тангенс), а также константы. Мы рассмотрим несколько важнейших типов тригонометрических уравнений и для каждого типа уравнений рассмотрим основной метод решения.

Простейшие тригонометрические уравнения – это уравнения вида “Тригонометрическая функция = Число”. Этих тригонометрических уравнений существует всего три вида ( c функциями sin, cos и tg ) и их решения обязательно нужно помнить, поскольку на последнем этапе решение любого тригонометрического уравнения сводится к решению одного или нескольких простейших тригонометрических уравнений.

Рассмотрим Тригонометрическое Уравнение cos x = a

Это уравнение имеет два решения, повторяющихся через каждые 2p:

Которые обычно объединяются в формулу:

Существует два исключения, когда у этого уравнения имеется единственный корень:

А в случае cos x = 0 ответы объединяются так: .

Внимание. Всегда проверяйте, чтобы число а лежало в промежутке от – 1 до 1, иначе уравнение не будет иметь решений, а запись корней через arccos будет грубейшей ошибкой.

Уравнение sin x = a

Имеет два решения, повторяющихся через каждые 2p:

Которые обычно объединяются в формулу:

Существует два исключения, когда у уравнения имеется единственный корень:

А в случае sin x = 0 ответы объединяются так: .

Внимание. Всегда проверяйте, чтобы число а лежало в промежутке от – 1 до 1, иначе уравнение не будет иметь решения.

Уравнение tg x = a (или эквивалентное ему ctg x = ¹ / _a)

Имеет одно решение, повторяющиеся через p:

Не забывайте, что в уравнениях синусом или косинусом корни повторяются через 2p, а в уравнениях с тангенсом и котангенсом – через p!