Глава XI. Тригонометрические уравнения.
§XI.10. Тригонометрические Уравнения, решаемые подстановкой корня или возведением в квадрат.

Иногда возникают ситуации, когда Вы ничего не можете сделать с тригонометрическим уравнением. В этом случае Вам ничего не останется, как свести все уравнение к многочлену, содержащему синусы, косинусы или тангенсы. При этом используются формулы для тригонометрических функций кратных углов. Дальнейшие Ваши действия зависят от того, какие функции, присутствуют в многочлене.

Если в многочлене имеется только один вид тригонометрических функций, тогда производится замена переменной и решается алгебраическое уравнение. Причем единственным методом его решения может оказаться перебор возможных корней, среди которых в тригонометрических задачах обычно присутствуют

Если в уравнении присутствуют тангенсы, тогда делается простая замена tg x= sin x: cos x, с последующим приведением к общему знаменателю.

Если после этого в уравнении остались синусы и косинусы, и уравнение точно не является однородным, тогда выбирается функция, к которой будет уравнение сведено, причем правильнее выбрать ту функцию, которая присутствует в нечетной степени. Например, к косинусам нужно переходить в уравнении :

Затем заменяют квадраты и более высокие четные степени другой функции, согласно основному тригонометрическому тождеству, например :
sin ² x = 1 – cos ^{2 x}; а также:
sin ⁴ x = 1 – 2 cos ^{2 x + cos 4 x.}

Если теперь в уравнении осталась заменяемая функция в нечетной степени, мы можем смело переносить ее в другую часть уравнения, выносить за скобки эту функцию в первой степени, заменять на корень ( или ), а затем возводить в квадрат. Например, уравнение

может быть преобразовано при переходе к уравнению содержащему только синус следующим образом:

Возведение в квадрат приведет к появлению лишних корней, которые нужно будет отбросить при проверке.

( Обратите Ваше внимание! Замена через корень с последующим возведением в квадрат эквивалентна возведению в квадрат, с последующей заменой с использованием основного тождества. Поэтому, если Вам это проще, можете проводить сначала возведение в квадрат, а потом – замену. )