Глава XI. Тригонометрические уравнения.
§XI.12. Специфика иррациональностей в тригонометрических уравнениях.

В этом параграфе рассматриваются тригонометрические уравнения, содержащие квадратный корень, описываются особенности тригонометрических выражений под корнем, и рассказывается об особенностях ОДЗ и ДУ в иррациональных тригонометрических уравнениях.

Все особенности иррациональностей в тригонометрических выражениях можно разделить на особенности тригонометрических выражений под корнем и на особенности решения тригонометрического уравнения, когда рассчитывается ОДЗ и ДУ.

Основные особенности тригонометрических выражений под корнем:

(Они вытекают из формул половинного угла.)

(Или из формулы квадрата суммы и разности тригонометрических функций.)

Например выражение :

можно привести к виду , откуда вытекает, что оно равно .

Замечание. Всегда нужно смотреть нельзя ли извлечь корень, т.е. не представляет ли собой подкоренное выражение полный квадрат. В тригонометрии полный квадрат может быть хорошо замаскирован, но его извлечение может кардинально облегчить решение. (Внимательно посмотрите предыдущий параграф!)

Особенности решения иррационального тригонометрического уравнения, как обычного иррационального уравнения. Особенностью тригонометрических уравнений с квадратными корнями является то, что хотя после возведения уравнения в квадрат получается вполне решаемое тригонометрическое уравнение, но неравенства задающие ОДЗ и ДУ могут оказаться не разрешимыми способами элементарной математики, поэтому рекомендуется не решать эти неравенства, а проверять корни на соответствие им.

Однако иногда, учтя ограниченность тригонометрических функций, можно легко обнаружить, что подкоренное выражение, или выражение, стоящее вне корня, не отрицательно. Например, выражение :