Глава XI. Тригонометрические уравнения.
§XI.2. Уравнения, решаемые заменой переменных.

В этих уравнениях, которые могут иметь очень сложный вид, можно выделить несколько слагаемых или сомножителей, в каждом из которых будет присутствовать одно и тоже тригонометрическое выражение. Так например в уравнении:

Это тригонометрическое выражение объявляется новой переменной, затем решается уравнение, не являющиеся тригонометрическим. У нас это:

После определяются корни этого уравнения, а затем решаются уравнения вида “Замененное выражение = корень уравнения, полученного после замены”. Так в нашем примере таким уравнением будет:
cos ^{2 x = 3/₄}.

Полезно, делая замену переменных, обращать внимание на то, каков допустимый диапазон значений новой переменной. При тригонометрических заменах есть свои особенности. Так нужно помнить, что:

• Синус и косинус не превышают по абсолютному значению 1;
• Их квадраты, которые к тому же не отрицательны, не превосходят 1;
• Выражение a cos x + b sin x точно не превосходит a + b
.

И помните, что произведение любого числа синусов и косинусов от любых аргументов не превосходит по модулю 1.