Глава XI. Тригонометрические уравнения.
§XI.3. Уравнения содержащие кратный угол или сумму углов.

Если уравнение содержит двойные, тройные или четверные углы, тогда, используя формулы для расчета тригонометрических функций кратных углов, можно попытаться получить уравнение второй, третьей или четвертой степени относительно синуса или косинуса одинарного угла. Например, в уравнении:

Дважды примененная формула синуса двойного угла позволит получить уравнение:
4 sin x cos x cos 2 x = 5 cos x , из которого следуют уравнения cos x = 0 и sin x cos 2 x = ⁵/₄, причем второе уравнение не имеет решения.

Применять формулы тригонометрических функций кратного угла желательно тогда, когда затруднительно применить формулы перехода от суммы тригонометрических функций к произведению или наоборот. В частности, если, как в нашем примере, при тригонометрических функциях находятся неравные коэффициенты. Так же формулы кратного угла используются, если в уравнении имеются не понижаемые степени, или лишние слагаемые, от которых не удается избавиться.

Заметьте, что уравнение sin 4 x = cos xнужно решать иным способом, чем тот, что рассмотрен выше. Косинус должен быть заменен на синус по формуле приведения и перенесен в левую часть уравнения, а затем используется формула разности синусов, что превращает левую часть уравнения в произведение двух сомножителей, каждый из которых нужно лишь приравнять к нулю.

Внимание. В уравнениях нередко создается ситуация, когда все аргументы тригонометрических функций кратны не x, а 2 x, 3 х и т.д. В этом случае не нужно доводить преобразования до тригонометрических функций одинарного угла, а желательно ограничиться тригонометрическими функциями двойного или тройного угла.
Например, в уравнении sin 9 x = 2 sin 3 x достаточно применить формулу тройного угла к левой части и получить уравнение , которое легко решается заменой переменных t = sin 3 x.

Даже если в уравнении имеется угол больше, чем четверной, можно попытаться использовать такую же схему решения. Правда для этого нужно применять формулы сложения. Например, sin 7 x может быть расписан как sin ( 5 x + 2 x ) ; sin ( 6 x + x ) ; sin ( 4 x + 3 x ) в зависимости от других тригонометрических функций, присутствующих в уравнении.

Другим применением формул сложения является применение их к тригонометрическим функциям от аргумента, содержащего фиксированный угол и переменную, например в таком уравнении:

Здесь должна быть применена формула синуса суммы, а затем косинусы x в полученном выражении должны быть заменены на синусы, согласно основному тригонометрическому тождеству.

Внимание. Применять формулы сложения к тригонометрическим функциям, содержащим переменную и константу нужно осторожно, поскольку использование этих формул усложняет уравнение, вместо этого можно попытаться применить формулы перехода к произведению или сумме, понижение степени, а также формулы приведения. Наконец, можно объявить сумму переменной и фиксированного угла новой переменной и посмотреть, что получится. К примеру, в выражении