|
|
Глава XI. Тригонометрические уравнения.
§XI.5. Однородные уравнения.
В этом параграфе речь идет об уравнениях, содержащих из тригонометрических функций только синусы и косинусы.
Тригонометрическое уравнение является однородным, если все слагаемые в уравнении имеют одинаковую суммарную степень, т.е. сумма степеней косинусов и синусов во всех слагаемых одинакова. Например, уравнение
sin 3 x + 4 sin 2 x cos x – cos 3 x = 0
является однородным, а уравнение:
sin 2 x cos x + sin x cos 2 x + cos 2 x = 0
не является, так как суммарная степень последнего слагаемого, равная двум, не совпадает с суммарными степенями остальных слагаемых, равными 3.
Сначала, при решении уравнения, по возможности, из каждого слагаемого однородного уравнения выносят общий множитель, например из уравнения
за скобку выносится общий множитель sin 2 x. В результате получаются два уравнения, одно из которых очень простое (простейшее или распадается на два простейших), а второе является однородным, но таким, что уже нельзя вынести общий множитель, в последнем примере это уравнение
sin 2 x + 2 sin x cos x – 3 cos 2 x = 0
Теперь, поскольку ни синус, ни косинус вынести из уравнения нельзя, sin x = 0 и cos x = 0 не являются решениями уравнения, а значит мы можем смело разделить наше однородное уравнение на синус или косинус в степени, равной суммарной степени любого слагаемого, скажем k. В нашем случае это sin 2 x или cos 2 x. В результате получится многочлен степени k относительно tg x. Следовательно, это уравнение решается заменой тангенса на новую переменную. В рассматриваемом примере мы получим уравнение:
tg 2 x + 2 tg x – 3 = 0
и после замены оно превратится в: t 2 + 2 t – 3 = 0.
Заметьте. Решения однородного уравнения выражаются через арктангенсы, хотя изначальное уравнение тангенсов не содержит. Именно здесь, если Вы использовали другой подход, Вам возможно придется доказывать правильность своего решения, переведя тангенс в синус или косинус. См. учебник.
В нашем примере
x2 = arctg(– 3) + p k ;
x3 = 0,25 p + p k ; k О Z.
|
Введите Рег № и Пароль,
а затем выберите
Параграф или № задания,
чтобы увидеть
полный текст или подробное решение
|
