Глава XI. Тригонометрические уравнения.
§XI.6. Уравнения с суммой тригонометрических функций (в том числе с одинаковым аргументом.)

Формулу перехода от суммы тригонометрических функций к произведению рекомендуется применить, если:

1. Уравнение имеет вид “Тригонометрическая функция одного аргумента = сходной тригонометрической функции другого аргумента”. Примерами таких уравнений будут:
   sin 3 x = sin 5 x ; tg 2 x = tg 3 x ; sin 3 x = cos x В последнем случае перед переходом от разности к произведению нужно преобразовать синус в косинус с использованием основной формулы приведения, т.е. уравнение нужно представить в виде .

2. Уравнение содержит три слагаемых (причем коэффициент при каждом слагаемом равен 1 и все степени первые), а после использования формулы сложения двух слагаемых, третье слагаемое будет присутствовать в виде сомножителя в произведении. Например, уравнение sin 5 x – sin x + sin 2 x = 0 может быть преобразовано с использованием формулы разности синусов в уравнение: 2 cos 3 x sin 2 x + sin 2 x = 0 Откуда легко вынести sin 2 x.
   Признаком применимости формул перехода от суммы к произведению в этом случае является равенство полусуммы или полуразности двух аргументов третьему, причем стоит проверить возможность перехода от суммы к произведению для двух комбинаций: “функция с максимальным аргументом + функция с минимальным аргументом” и “функция с максимальным аргументом + функция со средним аргументом”.

3. Если уравнение содержит три слагаемых, но коэффициенты одинаковы только у двух, тогда именно к ним стоит попытаться применить формулы перехода от суммы к произведению.

4. В уравнении, содержащем сумму четырех слагаемых в первой степени, применять формулы перехода к произведению можно, но возникает вопрос в правильной группировке слагаемых, т.е. сгруппировать слагаемые надо таким образом, чтобы из двух получившихся произведений можно было вынести общий множитель. ( Обычно это группировка “самый больший аргумент + самый меньший аргумент”. ) После вынесения общего множителя возможно придется повторить операцию перехода к произведению. Если же коэффициенты совпадают попарно, тогда можно смело попытаться применить переход к произведению для двух пар слагаемых. Например, в уравнении: sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = 0 суммируются первое слагаемое с последним, а второе с третьим, что дает уравнение: Из последнего уравнения выносится sin ^5x/₂, а затем к оставшемуся уравнению: cos 1,5 x + cos 0,5 x = 0 применяется формула суммы косинусов.

5. Если в уравнении появляются два слагаемых содержащих, причем с равными коэффициентами, синусы или косинусы в первой степени c большими аргументами тогда нужно попытаться применить переход от суммы к произведению для уменьшения аргументов, вместо использования формул сложения и формул для кратных углов.
   Примером такого уравнения могло бы служить: sin 17 x – sin x = 4 sin 4 x которое можно превратить в 2 sin 8 x cos 9 x = 4 sin 4 x, а затем, применив в левой части синус двойного угла, из уравнения можно вынести 4 sin 4 x.

6. Если в уравнении имеется выражение вида sin x + cos x, тогда его можно попытаться заменить на или на . Для этого достаточно заменить синус на косинус по формуле приведения и перейти от суммы к произведению. Например, уравнение sin x + cos x = 1 преобразуется таким образом в простейшее уравнение .