Глава XI. Тригонометрические уравнения.
§XI.8. Уравнения, решаемые введением дополнительного угла.

Предлагаемый здесь прием обычно используется не для решения каких-либо уравнений, а для упрощения выражений, в том числе входящих в тригонометрические уравнения.

Итак, пусть у нас есть сумма синуса и косинуса одного и того же угла, но, в отличие от ситуации рассмотренной в §XI.6., коэффициенты при синусе и косинусе не равны.

Другими словами, у нас имеется выражение вида:

Мы можем преобразовать это выражение в синус или косинус некоторого угла. Для этого сначала производится нормирование коэффициентов:

А затем, если мы хотим получить синус, объявляем величину косинусом некоторого угла и, использовав формулу синуса суммы, приводим наше выражение к виду:

Точно также мы можем перейти к косинусу, при этом наше выражение превратится в

Заметим, что четверть из которой берется дополнительный угол определяется знаками коэффициентов а и b. Например, если коэффициент а положительный, а коэффициент b – отрицательный, тогда при переходе к синусу дополнительный угол берется из четвертой четверти, а при переходе к косинусу – из второй.

См. Пример.