Глава XI. Тригонометрические уравнения.
§XI.9. Не вполне однородные уравнения.

В левой части однородного уравнения находится сумма произведений синусов и косинусов в одинаковой суммарной степени, а в правой – 0. Здесь мы рассмотрим случай, когда в правой части уравнения находится число. В этом случае простое деление на sin ^{k x} или cos ^{k x} не приведет нас к уравнению относительно тангенсов, поскольку в правой части уравнения сохранится число деленное на косинус или синус в степени k.

Предположим, что k – четное, т.е. k = 2 n. В этом случае наше не вполне однородное уравнение выглядит так:

Но единицу мы, согласно основному тригонометрическому тождеству, можем представить в виде sin ^{2 x + cos 2 x, причем, если мы возведем эту сумму в степень n, то ничего не изменится, это все равно будет 1. Поэтому наше уравнение можно записать так:}

Теперь, если произвести раскрытие скобок и приведение подобных, мы получим обычное однородное уравнение, которое решается делением на sin ^{k x} или cos ^{k x}.

Теперь рассмотрим случай нечетного k. В этом случае нам сначала потребуется возвести обе стороны уравнения в квадрат, а уже затем заменять единицу на sin ^{2 x + cos 2 x в степени k. Т.е. уравнение примет вид:}

Замечание. При возведении в квадрат могут возникнуть лишние корни, поэтому все корни на интервале [ 0 ; 2 p ) нужно выписать и проверить, а потом добавлять к ним 2 p k и объединять.

И еще... Подобным же образом можно приводить к однородному виду и другие уравнения в которых в правой части находятся тригонометрические функции в степени меньшей, чем k. Но рассказывать эту методику не будем, так как подобные уравнения или почти не встречаются на экзаменах, или существуют гораздо более простые методы их решения.