Глава XII. Тригонометрические неравенства и системы.
§XII.1. Специфика интервалов в тригонометрических неравенствах.

В начале этой главы мы рассмотрим методы решения тригонометнрических неравенств, а затем разберем системы тригонометрических уравнений. Основные приемы при этом будут те же, что используются тогда когда нужно решить тригонометрические уравнения.

Спецификой тригонометрических интервалов (в частности, интервалов, возникающих при решении тригонометрических неравенств) является то, что они повторяются с периодичностью p, 2p или иной. Это может вызывать путаницу при определении границ интервалов. А более подробно мы разберем специфику интервалов в тригонометрии на примере простейших тригонометрических неравенств. Для построения интервалов будем использовать круговые диаграммы.

Сначала нужно выписать оба корня соответсвующего уравнения на интервале [ 0 ; 2p ), это будут:
x₁ = arcsin a ; x₂ = p – arcsin a. И поставить эти точки на окружности.

Решением рассматриваемого неравенства будет дуга выше этих точек. Записать ответ можно так: .

Внимание ловушка. При a < 0 первый корень уравнения будет меньше 0, поэтому, если требуется выписать ответ на интервале [ 0 ; 2p ) , то он распадется на два интервала .

В этом случае запись ответа немного изменится: .

Неравенства с косинусом очень похожи на неравенства с синусом, только там неравенствам со знаком "больше" соответствует правая от решений уравнения дуга, а неравенствам со знаком "меньше" – левая.

В неравенствах содержащих тангенс, картина будет несколько другая, что связано с меньшим периодом тангенса и наличием выколотых точек 0,5 p и 1,5 p .

На интервале [ 0 ; 2p ) соответствующее уравнение также будет иметь два решения:
x₁ = arctg a ; x₂ = p + arctg a. Оба эти корня отмечаются на окружности, но решениями неравенства будут дуги от первого корня до 0,5 p и от второго корня до 1,5 p, отсчитываемые против часовой стрелки. Решение неравенства записывается так:

Если знак неравенства “меньше”, тогда отсчет интервала по окружности идет по часовой стрелке, а ответ выглядит так: .

Теперь рассмотрим порядок действий при построении круговой диаграммы и интервалов для некоторого произвольного тригонометрического неравенства.

1. Определяется Наименьшее Общее Кратное периодов всех корней (и точек обращения в нуль знаменателя.), которое и является периодом полного их повторения, этот период может быть как 2p, так и меньше, и больше. Если полный период больше, чем 2p, тогда круговая диаграмма строится именно для этого периода, т.е. все корни должны быть поделены на величину отношения этого периода и 2 p. Но также можно поступить и если период меньше 2p.
2. Выписываются все корни уравнения на полном периоде повторения корней. Кроме того, выписываются все точки обращения в нуль знаменателя неравенства также на полном периоде. После чего они приводятся к величине периода и расставляются на круговой диаграмме.
3. После этого на диаграмме появляется несколько интервалов, из каждого из которых выбирается одна точка, и по ней проверяется выполнение неравенства на этом интервале.
4. После этого нужно выписать ответ, не забывая о полной величине периода. Но в принципе, правильно составленной диаграммы почти достаточно.