Глава XII. Тригонометрические неравенства и системы.
§XII.3. Решение систем за счет замены переменных и использования основных тождеств.

Отсюда начинается рассмотрение систем тригонометрических уравнений. Мы не будем рассматривать системы, в которых одно из уравнение не содержит тригонометрических функций, так как именно из этого уравнения будет делаться подстановка, переводящая систему в одно тригонометрическое уравнение. Мы не будем рассматривать уравнения, в которых имеется по одной тригонометрической функции от каждой переменной, так как двойной заменой переменных эти системы превращаются в нетригонометрические системы, например система:

Превращается заменой в систему вида “Сумма – Произведение”, нужно лишь учитывать ограничения на значения новых переменных, вызванные тригонометрическим характером замены.

Итак, пусть у нас имеется система из двух тригонометрических уравнений с двумя неизвестными и разными тригонометрическими функциями для каждой переменной. Универсальным способом решения таких систем является переход к системе, содержащей лишь одну тригонометрическую функцию для каждой переменной. Для этого используется замена синуса на косинус (или наоборот) с использованием основного тригонометрического тождества и, по необходимости, возведением уравнений в квадрат. Например, система уравнений:

Превращается таким преобразованием в систему:

В которой уже можно сделать двойную замену переменной.

Также используются замены тангенса и котангенса на соотношение синусов и косинусов.

Недостатками этого подхода являются:

1. Опасность возникновения при решении системы, полученной после замены переменных, уравнения высоких степеней: не редкость уравнения четвертой степени, которые приходится решать подбором корней.
2. Возникновение лишних корней, которые появляются при возведении в квадрат. В результате, все корни приходится проверять.