Глава XII. Тригонометрические неравенства и системы.
§XII.4. Решение систем через тригонометрические преобразования.

Этот путь применим не ко всем системам, и методика решения системы в этом случае гораздо менее прозрачна, чем решение с заменой одних тригонометрических функций на другие.

Во-первых, в решении может быть использовано основное тригонометрическое тождество, но в несколько непривычной форме:

Внимание. Последние два равенства выполняются с точностью 2pk.

Во-вторых, может быть использован переход от произведения тригонометрических функций к сумме, особенно если в аргументах произведения присутствуют полусумма и полуразность переменных, например, если одно из уравнений имеет вид:

В-третьих, может быть использован переход от суммы или разности к произведению. Поскольку этот переход означает появление новых аргументов у тригонометрических функций (полусуммы и полуразности прежних аргументов), то применять преобразование суммы в произведение нужно сразу ко всем уравнениям системы. Кроме того, применить переход к произведению можно лишь тогда, когда коэффициенты при тригонометрических функциях в одинаковы (например, равны 1). Например, в системе:

Применение формулы суммы синусов в первом уравнении и разности косинусов во втором дает нам систему:

В которой из второго уравнения можно выразить синус полусуммы и, подставив его в первое уравнение, получить простейшее тригонометрическое уравнение:

К несчастью такой подход уже нельзя применить к системе:

Поскольку в первом уравнении перед вторым слагаемым имеется коэффициент “2”, который мешает переходить к произведению.