Глава XIII. Обратные тригонометрические функции.
§XIII.2. Решение уравнений с использованием прямых тригонометрических функций.

Этот параграф посвящен решению уравнений, содержащих обратные тригонометические функции. Но применять эти способы можно также к неравенствам, тождествам и системам с данными функциями.

Первое, на что надо обратить внимание, решая уравнение с обратными тригонометрическими функциями, это ОДЗ. Поскольку арксинус и арккосинус заданы только в интервале [ – 1 ; 1 ], то в качестве неравенств, задающий ОДЗ, нужно выписать двойные неравенства, в которых аргументы арксинуса и арккосинуса заключаются между –1 и 1. Например, в уравнении:

После определения ОДЗ нужно применить к обеим частям уравнения наиболее подходящую прямую тригонометрическую функцию. Но для упрощения применения прямых функций нужно сделать так, чтобы в обеих частях уравнения было как можно меньше слагаемых, чтобы все коэффициенты перед обратными функциями были целые и их величины были минимальны. Например, уравнение :

После чего к нему можно применить синус или косинус:

При применении прямых тригонометрических функций используются формулы для кратных углов и формулы сложения. В нашем уравнении в левой части нужно применить формулу синуса двойного угла, а в правой – синуса суммы:

После такого преобразования остается преобразовать одни обратные функции в другие или использовать преобразования обычных тригонометрических функций. Например,
sin (arccos x ) может быть представлен как или как , тем не менее результат будет одинаковый, т.е. . Причем независимо от знака x.

Поскольку тригонометрические функции являются периодическими, то применение их к обеим частям уравнения может приводить к возникновению лишних корней. Особенно это относится к уравнениям в которых присутствует несколько слагаемых. Поэтому все полученные корни уравнения нужно проверять.