Глава XIV. Модули. Уравнения с модулями. Способы решения.
§XIV.4. Альтернативный подход к раскрытию нескольких модулей в уравнениях и неравенствах.

Этот параграф посвящается способы ускоренного решения уравнений с несколькими простыми модулями.

Если выражения внутри модулей линейные, тогда процедуру раскрытия модулей можно несколько упростить. Сначала раскрывается тот модуль, который соответствует минимальной точке обращения в нуль выражения внутри модуля, затем следующий по такому же принципу, но при этом разбивается на два лишь интервал, соответствующий положительному значению первого внутримодульного выражения. В результате, при k модулях появляется k+1 интервал и столько же уравнений, вместо 2 ^k интервалов и уравнений.

Пример. Решаем уравнение:

Первым обращается в нуль первый модуль, поэтому сначала раскрываем его. Делим всю числовую ось на два интервала: 1) x меньше – 5 и 2) x больше – 5. На первом из этих интервалов выражение внутри второго модуля постоянно отрицательно, поэтому этот интервал делить не нужно. А второй интервал делим на два: а) x от – 5 до 2, и б) x больше 2. В результате, на интервале 1) оба выражения внутри модулей отрицательны; на интервале а) отрицательно только второе выражение; а на интервале б) оба выражения положительны.

Этот же подход может применяться когда выражения внутри модулей являются монотонными. Т.е. или убывающими или возрастающими на всей числовой оси при росте x . Такими будут логарифм, показательная функция и нечетная степень.