Глава II. Рациональные неравенства.
§II.1. Что такое рациональное уравнение и неравенство, и как их решать.

Эта тема посвящена решению рациональных уравнений и рациональных неравенств, для чего потребуется знание способов приведения дробей к общему знаменателю, а также знание правил решения рациональных неравенств.

Рациональное уравнение есть приравненная к нулю сумма нескольких дробей, числителем и знаменателем которых являются многочлены. Например рациональным является уравнение:

Соответственно, если знак равенства заменить на один из знаков > , < , ³ , £, то у нас получится рациональное неравенство.

Основной метод решения рационального уравнения заключается в приведении всех дробей к общему знаменателю, т.е. в преобразовании суммы дробей в одну несократимую дробь вида , где P(x), Q(x) – многочлены.

После проведения такого преобразования, остается решить уравнение P(x) = 0, поскольку лишь при тех x, когда числитель обращается в нуль, обращается в нуль вся дробь. А решение уравнения P(x) = 0 рассматривалось в предыдущей главе.

Заметьте, что перед приведением уравнения к общему знаменателю полезно сначала попытаться сократить все дроби. А затем попытаться найти замену переменной, которая может упростить уравнение.

Однако для решения неравенства недостаточно решить уравнение P(x) = 0, поскольку знак дроби определяется не только знаком числителя, но и знаком знаменателя. Поэтому нужно решить два уравнения P(x) = 0 и Q(x) = 0, а потом представить дробь в виде:

Подобно тому, как мы делали это в параграфе I.4. Здесь x_i – корни числителя, а x_i^* – корни знаменателя.

См. учебник.

Внимание ловушка. Каждый сомножитель и в числителе, и в знаменателе дроби должен выглядеть именно
( x – x_i ), а не ( x_i – x ). Потому что во втором случае сразу изменяется знак всей дроби. Об этом часто забывают, особенно если знаменатель дроби был сразу представлен в виде произведения нескольких простых сомножителей.

После нахождения корней числителя и знаменателя можно приступить к расстановке точек на числовой прямой, причем нужно аккуратно сравнивать значения x_i между собой, особенно если это дроби или иррациональные числа. А затем можно определить знаки дроби на получившихся интервалах. При этом действует правило, если коэффициент А в полученной дроби положительный, то на интервале от наибольшего корня до бесконечности дробь имеет знак “+”, а в противном случае “–”; знаки дроби в остальных интервалах чередуются.

Получается примерно такая картинка:

Причем нужно помнить, что x_i^* – это всегда “пустые” точки, которым соответствуют круглые скобки, а x_i будут “закрашенными” точками, если неравенство не строгое (³ или £), и им будут соответствовать квадратные скобки. (При строгом неравенстве все точки, расставленные нами на числовой прямой, “пустые”.)