Глава III. Преобразование рациональных выражений.
§III.1. Основные методы: сокращения, приведение к общему знаменателю.
Эта и следующая главы посвящаются преобразованию выражений. В этой главе мы рассмотрим основные способы преобразования рациональных выражений, а в следующей главе будем преобразовывать иррациональные выражения.
Рациональным выражением будет называться всякое алгебраическое выражение, содержащее следующие операции:
- Сложение/вычитание;
- Умножение/деление;
- Возведение в целую степень.
При этом в выражении нет ни корней, ни каких либо функций.
Целью преобразования выражений обычно является их максимальное упрощение.
Для достижения этой цели используются основные методы:
- Приведение Подобных;
- Вынесение Общего Множителя за Скобки;
- Сокращение;
- Приведение к Общему Знаменателю.
Приведение подобных означает объединение слагаемых с одинаковыми (и в одинаковой степени) переменными в одно и суммирование коэффициентов. Например, в выражении
a x2 + b x + x2 + a x
Приведение подобных даст нам:  . Но заметьте, что в том же выражении можно было поступить и иначе  .
Вынесение общего множителя. Это преобразование суммы в произведение с одновременным упрощением всех слагаемых. За скобки выносится множитель, присутствующий во всех слагаемых. Например, в выражении
можно вынести общий множитель ax. Внимание. Правильное вынесение общего множителя может существенно упростить процесс преобразования выражения.
Сокращение. Если в дроби имеются одинаковые сомножители в числителе и знаменателе, то их можно сократить; именно по этому вынесение общего множителя столь важно. Внимание. Сокращать можно только множители.
Пример. Выражение:  Преобразуется так:
Приведение к общему знаменателю. Это преобразование суммы дробей в одну дробь. Общим знаменателем дробей будет Наименьшее Общее Кратное их знаменателей. А числитель каждой из дробей домножается на множитель, который дополняет знаменатель данной дроби до общего знаменателя. Например, у суммы дробей
Общим знаменателем будет  . Первое слагаемое домножается на
x (x – a), а второе – на x – a. В результате получается дробь:
В которой можно раскрывать скобки, осуществлять приведение подобных и т.д.
В итоге, преобразование выражений – процесс в котором чередуются сокращение, приведение к общему знаменателю, приведение подобных, вынесение множителей за скобки и раскрытие скобок. Причем для ускорения работы используются формулы из следующих параграфов. Выбор одного из методов определяется видом выражения. А правильность выбора зависит от Вашего опыта и умения применять знания.
См. Пример.
|
