Глава V. Иррациональные уравнения и неравенства.
§V.1. Иррациональные уравнения. Понятие ОДЗ.

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная (или многочлен) находится под знаком корня. При этом корней в иррациональном уравнении может быть несколько и корни могут быть 2, 3, 4 и т.д. степени.

Особенностями иррациональных уравнений является то, что корень можно извлечь лишь при некоторых значениях переменной, а кроме того, корни, полученные в процессе решения иррационального уравнения могут оказаться "лишними".

Наиболее частым видом иррациональных уравнений и неравенств являются уравнения и неравенства с квадратным корнем, т.е. содержащие один или несколько квадратных корней. А под знаком корня в таком иррациональном уравнении обычно находится многочлен первой или второй степени.

Например:

Поскольку в элементарной математике извлекать корень из отрицательного числа нельзя, то оказывается, что ответы уравнения или неравенства не могут находится где угодно на числовой оси, а должны входить в ограниченное множество, которое именуется ОДЗ, т.е. областью допустимых значений.

Каждому квадратному корню, имеющемуся в задаче, соответствует свое ОДЗ, которое является решением неравенства “Подкоренное выражение ³ 0”. ( Причем важно: знак неравенства “³” , а не “>”, поскольку из 0 мы можем извлечь корень. ) А ОДЗ для всей задачи есть пересечение областей допустимых значений для всех квадратных корней; другими словами в ОДЗ входят все значения x, при которых можно извлечь каждый из корней входящих в задачу, т.е. в этих точках все неравенства “Подкоренное выражение ³ 0” выполнены.

В нашем примере для первого корня ОДЗ определяется неравенством: x + 5 ³ 0, т.е. . Для второго корня ОДЗ -- , а для третьего -- . В результате ОДЗ всего уравнения есть , поскольку все точки, входящие в этот интервал входят и в другие два интервала.

Заметьте, что если внутри квадратного корня находится другой квадратный корень, тогда ОДЗ рассчитывается и для внутреннего корня, и для внешнего, причем при построении ОДЗ для внешнего корня нужно решать иррациональное неравенство.

Пример расчета ОДЗ с вложенными корнями:

См. Пример.

Как Вы наверно уже заметили на нашем примере, иногда для решения уравнения достаточно сосчитать ОДЗ. При этом Вы можете обнаружить либо то, что ОДЗ является пустым множеством, и, следовательно решений у уравнения нет; либо то, что ОДЗ состоит всего из нескольких точек, каждую из которых нетрудно проверить.

Заметим, что при решении иррациональных уравнений можно не рассчитывать ОДЗ и не рисовать его на числовой оси. А просто проверить, можно ли извлечь корни в исходном уравнении, если подставить в уравнение полученные ответы. Этот вариант предпочтительнее, если под корнем находятся сложные выражения, включающие корни, логарифмы, экспоненты или тригонометрические функции. А вот при решении иррациональных неравенств ОДЗ обязательно нужно вычислить и желательно нарисовать, поскольку нередко именно границы ОДЗ определяют границы интервалов в ответе.