Глава V. Иррациональные уравнения и неравенства.
§V.2. Решение иррациональных уравнений возведением в квадрат, проблемы с разностью.

Иррациональные уравнения и неравенства, содержащие квадратный орень, чаще всего решаются методом возведения в квадрат; ведь при возведении в квадратного корня в квадрат получается подкоренное выражение (если оно, конечно, неотрицательно). В результате применения метода решение иррациональных уравнений возведением в квадрат получается либо рациональное уравнение, либо просто алгебраическое уравнение некоторой степени.

При решении иррационального уравнения в квадрат возводят обе стороны уравнения (неравенства); при этом по возможности перед возведением в квадрат стараются:

1. Уединить корень, т.е. сделать так чтобы корень находился в одной из частей уравнения без каких-либо иных слагаемых или множителей. Т.е. желательно сделать так:
   , а не так .

2. Сделать так, что бы было как можно меньше слагаемых в одной части уравнения, чтобы упростить возведение в квадрат.

3. Если в уравнении несколько корней, стараются избежать разности корней, которая может оказаться отрицательной. И для этого переходят к их сумме. Поэтому лучше записать уравнение так:
   , а не так:

4. Если разность корней неизбежна, тогда желательно чтобы она не меняла свой знак, т.е. чтобы одно подкоренное выражение всегда было больше другого. Поэтому лучше записать так:
   , а не

Если обе части неравенства положительны, тогда возведение в квадрат сохраняет знак неравенства. Если обе части неравенства отрицательны, тогда возведение в квадрат меняет знак неравенства. Если одна из частей неравенства отрицательна, а другая положительна применять возведение в квадрат нельзя, так как оно превратит отрицательное число в положительное, что нарушит соотношение частей неравенства. (В этом случае выполнение неравенства проверяется.)

Перед возведением в квадрат нужно проверить:

1. Не является ли ОДЗ пустым множеством или не состоит ли оно из ограниченного количества точек. В этом случае можно просто проверить все точки: являются ли они корнями уравнения или выполнено ли в этих точках неравенство.

2. Нельзя ли применить замену переменной. Косвенным признаком необходимости замены переменной является наличие квадрата вне корня или внутри более чем одного корня. Например, в уравнении можно сделать замену переменной
   t = x² + 3 x + 12, причем новая переменная должна быть неотрицательной.