Глава V. Иррациональные уравнения и неравенства.
§V.3. Понятие ДУ и лишние корни.

В предшествующем параграфе уже говорилось, что если одна часть иррационального уравнения или неравенства оказывается отрицательной, то возведение в квадрат нарушает соотношение частей уравнения или неравенства.

Поскольку возведение в квадрат делает отрицательную часть иррационального уравнения положительной, то после возведения в квадрат может случиться так, что в некоторой точке обе части уравнения совпадут, хотя на самом деле в этой точке правая и левая часть исходного уравнения будут отличаться знаком. Таким образом, корни, обнаруженные при решении уравнения с помощью возведения в квадрат, могут не оказаться корнями исходного уравнения.

Значит для того, чтобы решить уравнение с квадратными корнями недостаточно применить возведение в квадрат и решить получившееся алгебраическое уравнение. Нужно проверить, являются ли полученные корни ответами. Для этого есть два основных способа:

1. Если решается обычное иррациональное уравнение, то можно просто подставить полученные корни в исходное уравнение, но здесь могут возникнуть сложности при отсутствии калькулятора.

2. При решении неравенств или параметрических задач предпочтительнее другой способ: сразу выделить множество тех x, где знаки правой и левой частей выражения, возводимого в квадрат, совпадают. Обычно это множество задается неравенством вида “Часть выражения, не содержащая квадратные корни, ³ 0”. Данное неравенство называется “Дополнительное Условие”, сокращенно ДУ.

Например, при возведении в квадрат уравнения:

Дополнительное условие может быть и иррациональным неравенством, например, при возведении в квадрат уравнения:

При возведении в квадрат дополнительные условия могут и не возникать (Это происходила в заданиях предыдущего параграфа). Его не будет если обе части уравнения или неравенства содержат только:

1. Отдельные квадратные корни.

2. Суммы квадратных корней.

3. Квадраты каких-либо выражений.

4. Суммы квадратов и квадратных корней.

5. Другие неотрицательные функции, например экспоненту, и их суммы.

Поскольку отсутствие дополнительных условий предпочтительно, то желательно преобразовать уравнение или неравенство так, чтобы они не возникали.

Очень нежелательно, чтобы в одном уравнении и правая, и левая части могли становиться и положительными и отрицательными, поскольку это означает одновременное возникновение четырех дополнительных условий. Поэтому неравенство: