Глава V. Иррациональные уравнения и неравенства.
§V.4. Многократное возведение в квадрат иррационального уравнения и замены переменных.

Если в иррациональном уравнении или неравенстве более чем один квадратный корень, то для решения этого уравнения или неравенства может потребоваться более чем одно возведение в квадрат. Поэтому не стоит смущаться, если после первого возведения в квадрат в новом иррациональном уравнении останутся квадратные корни, а нужно лишь повторить операцию возведения в квадрат. Вообще, при возведении в квадрат уравнений и неравенств с несколькими квадратными корнями действует правило:

На каждый квадратный корень нужно одно возведение в квадрат.

И вот если после того, как вы выполнили k возведений в квадрат уравнения с k квадратными корнями, в уравнении остались корни, тогда нужно искать ошибки или применять другой метод решения.

При повторных воздедениях в квадрат уже не нужно выписывать ОДЗ; но нужно смотреть появляются ли новые ДУ и выписывать их при каждом новом возведении в квадрат.

Также перед возведением в квадрат можно проверить не оказалось ли множество x, для которых выполнены все условия ОДЗ и ДУ пустым или состоящим из нескольких точек.

См. Пример.

Перед каждым возведением в квадрат желательно смотреть:

1. Нельзя ли сделать замену переменной. Ее можно делать, если под корнем (корнями) и вне его находятся похожие выражения (наиболее часто – квадратные трехчлены; кратные и(или) отличающиеся лишь свободным членом). Нередко можно заменить и выражения стоящие под вложенным корнем или весь этот корень. Например, в неравенстве: можно сделать замену переменной , что приведет к неравенству , которое решается проще, одним возведением в квадрат, причем надо помнить, что t ³ 0.

2. Не стоят ли под разными корнями делители единицы или икса, и нельзя ли их заменить и перейти к уравнению или неравенству, содержащему t и ¹/_t. Пример такого уравнения: (Заметьте, в этом уравнении под “большими” корнями находятся строго положительные выражения.) Заменой переменных мы превращаем это уравнение в t + ²/_t = 3 Решая последнее уравнение мы обнаружим два корня, t₁ = 1 ; t₂ = 2, от которых можно перейти к переменной x. При обратном переходе к переменной xпотребуется решить два уравнения: И объединить их ответы.

3. Не находится ли под корнем полный квадрат, что означает, что можно извлечь корень и получить модуль подкоренного выражения. Смотрите тему “Модули”.

См. учебник.