|
|
Глава V. Иррациональные уравнения и неравенства.
§V.7. Иррациональности в знаменателях иррациональных уравнений и рациональные выражения под знаком корня.
Среди всех иррациональных уравнений и неравенств, содержащих корень в знаменателе дроби, можно, в первую очередь, выделить те, которые содержат  и  , или подобные иррациональные выражения. Эти иррациональные уравнения аналогичны рациональным уравнениям из §II.3.
Задача заключается в выделении полного квадрата выражения  . И перехода к квадратному уравнению с новой переменной. См. учебник.
Затем нужно выделить те уравнения и неравенства, где всю иррациональную дробь можно заменить на новую переменную, например, в уравнении:
Можно ввести замену  и получить уравнение:
t + 2/t = 3
Еще можно выделить уравнения и неравенства, в которых можно преобразовать дроби, содержащие корень, за счет различных алгебраических преобразований, среди которых наиболее популярна разность квадратов и нередко встречаются делители 1. См. учебник.
Также См. учебник.
За счет этих преобразований нередко удается избавиться от иррациональности в знаменателе. Например уравнение:
За счет использования формулы разности квадратов в числителе дроби превращается в:
Если к уравнению или неравенству не удается применить ни один из описанных выше подходов, тогда, чаще всего, решение следует начинать с приведения всех слагаемых к общему знаменателю.
Причем если знаменатель содержит только корни, то его можно отбросить даже при решении неравенств, так как он является положительным. Например в неравенстве:
После приведения к общему знаменателю получим знаменатель  , который можно отбросить и решать далее неравенство:
В некоторых простых случаях, особенно когда имеется одна дробь под знаком корня, предпочтительнее сначала возвести в квадрат, а потом приводить к общему знаменателю. (Приведение к общему знаменателю должно сопровождаться его выделением из под корня, что есть не вполне корректная операция. )
Внимание ловушка! Будьте внимательны при расчете ОДЗ уравнений и неравенств, содержащих дроби и корни:
- ОДЗ корня в знаменателе задается неравенством “Подкоренное выражение > 0”, а не “Подкоренное выражение ³ 0”, например в неравенстве:
ОДЗ будет x О ( 0 ; 6 ), а не x О [ 0 ; 6 ].
- ОДЗ дроби под корнем,
 , отличается от ОДЗ отношения корней,  , в первом случае ОДЗ задается системой неравенств
а во втором – системой
Это объясняется тем, что если числитель и знаменатель отрицательны, то сама дробь положительна и корень извлечь из нее можно, но при этом ни из числителя, ни из знаменателя корень извлечь нельзя. (И это несмотря на то, что при преобразовании выражений эти два выражения обычно считаются эквивалентными.) Например, ОДЗ для выражения  будет  , а для ОДЗ для  будетx О ( 0 ; Ґ ).
- Отбрасывая знаменатель не забывайте, что он все таки влияет на ОДЗ.
Внимательными нужно быть и при расчете ДУ, возникающего при возведении в квадрат дробей и произведений многочленов.
Итак, заканчивая эту тему приведем последовательность действий при решении уравнений и неравенств, содержащих квадратные корни.
- Стараемся найти замену переменной, значительно упрощающую задачу, и по возможности стараемся при этом убрать из задачи корни.
- Пытаемся преобразовать отдельные слагаемые, убирая корни из знаменателя, извлекая корни из полных квадратов и т.п.
- Определяем ОДЗ.
- Приводим к общему знаменателю (если конечно это нужно) и смотрим нельзя ли отбросить знаменатель.
- Выписываем ДУ и выполняем возведение в квадрат.
- Проверяем сколько точек входящих в ОДЗ соответствуют ДУ. Если точек всего лишь несколько, решаем задачу их подстановкой. И переходим к шагу 11.
- Если необходимо повторяем шаги 5 и 6, пока не исчезнут корни.
- Решаем алгебраическое уравнение или неравенство.
- Проверяем соответствие корней ОДЗ и всем ДУ.
- Для неравенства: строим интервалы в соответствии с решением алгебраического неравенства на ОДЗ с учетом ДУ.
- Для неравенства: проверяем его в части ОДЗ, не удовлетворяющей ДУ.
|
См. Пример.
|
Введите Рег № и Пароль,
а затем выберите
Параграф или № задания,
чтобы увидеть
полный текст или подробное решение
|
