Глава VI. Параметрические уравнения и неравенства, в том числе рациональные и с квадратным корнем.
§VI.1. Что такое параметрические уравнения, неравенства и задачи.

В Главах I, II и V мы рассматривали алгебраические уравнения и неравенства с одной переменной. А теперь будем рассматривать задания, в которых присутсвует несколько переменных (обычно 2), причем все переменные кроме одной считаются параметрами. ( Обычно в заданиях параметры обозначаются малыми латинскими буквами из начала алфавита. ) А единственная оставшаяся переменная должна в ответе выражаться через эти параметры.

Итак, параметрическое уравнение (точнее, алгебраическое параметрическое уравнение) – уравнение с одной переменной и одним (или несколькими) параметрами, на которые могут быть наложены дополнительные условия. Например, задание в параметрической задаче (предполагающей решение параметрического уравнения) может иметь вид:

Решить уравнение:

При всех отрицательных значениях параметра b.

Задание решить параметрическое уравнение означает:

1. Определить при каких значениях параметра(ов) не существует корней уравнения.

2. Выразить все корни уравнения через параметр(ы).

3. Указать при каких значениях параметров существует каждый из корней.

Заметьте, что уравнения с параметрами близко связаны с системами уравнений, поскольку и тут, и там присутствует несколько переменных. И в некоторых случаях, чтобы получить подстановку для решения системы уравнений, приходится решить одно из уравнений, входящих в систему, как параметрическое.

Параметрическое неравенство – неравенство с одной переменной и одним или несколькими параметрами, ответ при решении которого должен содержать интервалы для переменной, границы которых определяются через параметры.

Задание Решить параметрическое неравенство предполагает:

1. Правильно разбить все множество возможных значений параметров на подмножества. (Например, на интервалы на числовой оси.)

2. Для каждого из подмножеств указать существуют ли решения неравенства, и если они существуют представить эти интервалы или значения, выразив их через параметры.

Это сложное задание и ответ при его решении может выглядеть так:

Иногда к параметрическому уравнению или неравенству прилагается вопрос, касающийся решений уравнения или неравенства. Таким образом возникает параметрическая задача. Например, “Определить при каких значениях параметра b точки х = 1 и х = –1 одновременно лежат между корнями уравнения:

.”

При решении параметрической задачи нужно: 1) решить параметрическое уравнение или неравенство; 2) произвести некоторые действия с его решениями (корнями или границами интервалов для x), представленными в параметрической форме, направленные на получение ответа на вопрос. Например, в нашем случае сначала будут получены корни уравнения как функции параметра b:
x₁ = f₁(b) ; x₂ = f₂(b), а затем должна быть решена система неравенств:
f₁(b) < –1 ; f₂(b) > 1.

В ответе параметрической задачи чаще всего нужно указать значения параметров (или интервалы для параметров) , при которых выполняется условие задачи.