Глава VI. Параметрические уравнения и неравенства, в том числе рациональные и с квадратным корнем.
§VI.2. Дискриминант в параметрических квадратных уравнениях и отсутствие решений.

Наиболее часто среди задач с параметрами встречаются задачи, построенные на базе параметрического квадратного уравнения или параметрического квадратичного неравенства с одним параметром, скажем а.

Рассмотрим параметрическое квадратное уравнение. В общем случае все коэффициенты этого уравнения ( или параметрического квадратичного неравенства ) зависят от параметра:

Обычно коэффициенты оказываются многочленами степени не выше второй относительно параметра. Причем, чтобы запутать сдающего экзамен, коэффициенты уравнения могут быть разбросаны произвольным образом:

Поэтому прежде чем решать уравнение, нужно четко уяснить себе каковы же коэффициенты уравнения. Например, для последнего уравнения этими коэффициентами будут:

Теперь, как при решении обычного квадратного уравнения, рассчитывается дискриминант. Однако в параметрическом уравнении дискриминант обычно зависит от параметра. ( И рассчитываться он будет с помощью возведения в квадрат многочлена B(a), плюс перемножения многочленов A(a) и C(a), а также приведения подобных. ) Поэтому дискриминант, скорее всего, будет менять свой знак при изменении параметра. И чтобы выяснить, при каких значениях параметра уравнение не имеет решений,
нужно решить неравенство D( a ) < 0. Например, для уравнения:

Дискриминант составит D(a) = 24 a – 36, следовательно при a < 1,5 корней у уравнения не будет.

Вычисление дискриминанта помогает обнаружить отсутствие или наличие решений и в других случаях.

См. Пример.