Глава VI. Параметрические уравнения и неравенства, в том числе рациональные и с квадратным корнем.
§VI.3. Корни уравнения, их сравнение с числами и решение неравенства.

Итак, после расчета дискриминанта и выяснения когда дискриминант отрицателен, можно записать корни уравнения, как функции от параметра:

Заметьте, что эта формула не применима, если А(а) = 0. При удовлетворяющих этому уравнению значениях параметра

a надо решить линейное уравнение с фиксированными коэффициентами, и отразить эти корни в ответе отдельной строкой.

При сравнении корней параметрического уравнения с некоторыми числами, скажем с числом N приходится решать иррациональные

неравенства, вида:

При этом нужно помнить, что если x₁ > N, то и x₂ > N;

если x₂ < N, то и x₁ < N. (Считаем, что

x₁ – тот корень, где корень из дискриминанта входит со знаком минус.)

Если дискриминант является полным квадратом (D(a) = d²(a)), тогда при отрицательности

d(a) корень x₁ окажется большим корнем, а при положительности – меньшим. Следовательно при сравнении корней

с числами потребуется отдельно рассматривать интервалы (для параметра а), на которых d(a) является

положительным и отдельно интервалы на которых d(a) оказывается отрицательным.

См. Пример.

Решением квадратичного параметрического неравенства со знаком “<” при положительности А(а) является интервал

Поэтому в ответе к неравенству и при анализе задачи нужно отдельно рассмотреть тот интервал для а, где А(а)

положительно и отдельно интервал, где А(а) отрицательно.

(Надеемся запись ответа для других знаков неравенства не составит для Вас труда.)

Также заметим, что если дискриминант является полным квадратом, тогда нужно внимательно смотреть какой из корней уравнения является меньшим,

ведь при изменении знака d(a) корни меняются местами, и хотя это неважно в решении уравнения, но в случае неравенства, если

x₁ оказался большим корнем, запись ответа является серьезной ошибкой, достаточной чтобы н

засчитать задание.

См. Пример.