Глава VI. Параметрические уравнения и неравенства, в том числе рациональные и с квадратным корнем.
§VI.4. Параметрические иррациональные уравнения и неравенства: особенности построения ОДЗ и ДУ, а также проверки корней и построения ответов.

В этом параграфе мы будем рассматривать параметрические уравнения и неравенства с квадратным корнем. Поскольку видов таких уравнений и неравенств слишком много, постараемся продемонстрировать особенности их решения на примере одного простого параметрического иррационально уравнения:

Итак, поскольку в уравнении присутствует квадратный корень, необходимо рассчитать ОДЗ. Но в нашем случае ОДЗ зависит от параметра и для определения ОДЗ нужно решить параметрическое неравенство .

При некоторых значениях параметра ОДЗ может оказаться пустым множеством, иногда ОДЗ может состоять из нескольких точек, при некоторых значениях параметра оно может состоять из нескольких интервалов, причем иногда границы интервалов фиксированы, а иногда меняются вместе с параметром, и наконец в некоторых случаях ОДЗ есть вся числовая прямая. Нужно выделить интервалы значений параметра, на которых ОДЗ имеет каждый из описанных видов. Это потребуется при проверке корней на соответствие ОДЗ и при построении интервалов в ответе неравенства. В нашем уравнении при некоторых значениях параметра а ОДЗ будет всей числовой прямой, а в некоторых – двумя интервалами:

Дальше нужно возводить обе части исходного уравнения в квадрат. При этом также может возникнуть ДУ, зависящее от параметра.
В нашем случае таковым будет x і a. После возведения в квадрат мы получаем квадратное уравнение с параметром:

Фактически, после возведения в квадрат иррационального уравнения или неравенства, получается параметрическая задача с (квадратным) уравнением или неравенством, к которому прилагается несколько вопросов, относительно корней уравнения. Если Вам удается правильно сформулировать эти вопросы, тогда Вы без особых проблем должны, опираясь на опыт решения подобных задач в предыдущей теме, справиться с определением того, подходят корни или нет или того, каковы будут границы интервалов в решении неравенства. В нашем уравнении возникнут следующие вопросы:

1. При :
   Какие из корней уравнения не меньше, чем а?
   Какие из корней, удовлетворяющих первому условию, не попадают в промежуток, не входящий в ОДЗ?

2. При :
   Какие из корней уравнения не меньше, чем а?

Корни рекомендуем рассматривать по отдельности. При этом ответ на каждый из вопросов будет, возможно, делить интервалы значений параметра на подинтервалы, а значит при ответе на последующие вопросы придется рассматривать несколько интервалов отдельно.
Так например, корень x₁ = 0 удовлетворяет ДУ лишь при a Ј 0, поэтому при выяснении вопроса о соответствии этого корня ОДЗ нужно рассматривать лишь интервал , кстати этот корень подходит по ОДЗ. Т.е. рассматривая первую задачу, Вы должны определить себе, что x₁ = 0 при является корнем, а при нет. В дальнейшем потребуется объединить ответы отдельных задач воедино, но даже если Вы разделите все множество возможных значений параметра на большее количество интервалов, чем нужно, и дадите для всех интервалов правильные ответы, это будет лучше, чем вы правильно выделите интервалы для параметра, но допустите ошибку при построении ответов для этих интервалов.

Для проверки ответов параметрического уравнения можно подставить по одному значению параметра из каждого полученного интервала и подставить в уравнение корни, соответствующие этому значению параметра, например, из интервала можно взять значение а = –1,
с соответствующими ему корнями x₁ = 0 ; x₂ = 4, и подставить все эти числа в исходное уравнение.