|
|
Глава VII. Система уравнений.
§VII.1. Основные способы решения систем уравнений.
Система уравнений (точнее система алгебраических уравнений ) – это несколько уравнений с несколькими переменными, объединенными фигурной скобкой ( "{" ). Обычно в системе число уравнений совпадает с числом переменных. ( Если в системе уравнений переменных больше, чем уравнений, тогда можете считать, что вы встретились с параметрической системой уравнений. А если меньше, тогда скорее всего одно уравнение в системе лишнее, полученное комбинацией других уравнений из системы! ) На вступительном или выпускном экзамене скорее всего встретится система уравнений из двух уравнений с двумя переменными.
Решением системы из двух уравнений с двумя переменными является пара значений ( по одному для каждой переменной ), при подстановке которых оба уравнения системы превращаются в тождества. Соответственно, для системы с несколькими переменными отдельное решение должно содержать ровно столько значений, сколько в системе переменных.
Любую систему уравнений с двумя переменными можно решить графически, но этого делать не стоит, если в условии не сказано прямо, что нужно использовать графический способ. Но этот способ может оказаться полезным для того, чтобы понять все ли решения системы обнаружены Вами в ходе алгебраического решения, чтобы определить симметрию системы и т.д.
Чаще всего для решения систем используется способ подстановки. Алгоритм этого способа решения можно примерно описать следующим образом:
Этап 1. С помощью алгебраических преобразований отдельных уравнений и системы в целом стараются упростить одно из уравнений так, чтобы из него было легко сделать подстановку, т.е. исключить из второго уравнения одну из переменных. Например, из уравнений следующих видов:
вполне можно делать подстановку, хотя подстановка из двух последних уравнений может привести к очень сложным уравнениям для остающейся переменной.
Из алгебраических преобразований систем используются сложение (вычитание) уравнений друг с другом, при этом одно из уравнений нередко домножается на какое-нибудь число, например, в системе:
Домножение второго уравнения на 3 и сложение уравнений приводит к системе:
Которую легко можно решить подстановкой y = 7 – 4 x.
Также, если одна из частей (более сложная) более простого уравнения входит в более сложное уравнение, тогда ее можно заменить на другую часть более простого уравнения. Например, система:
Превращается в систему:
В которой первое уравнение является разрешимым относительно x – y.
Иногда, чтобы получить подстановку, приходится решать одно из уравнений, как параметрическое.
Например, из уравнения: x2 – 2 B x y + C y2 = 0 cледуют две подстановки:
А дальше Вам придется два раза решать оставшееся уравнение системы с двумя разными подстановками, что даст две группы ответов.
Этап 2. Решается уравнение с одной переменной, если это уравнение степени выше второй, и Вы не видите преобразований, которые быстро позволяют упростить это уравнение, тогда нужно пытаться использовать другой способ решения системы. При решении уравнения вы получите одно или несколько значений оставшейся переменной (т.е. той, через которую мы выразили вторую при подстановке).
Этап 3. Каждое из значений оставшейся переменной подставляется в то выражение, из которого делалась подстановка, и это дает нам значения заменявшейся переменной (обычно по одному на каждое значение остававшейся переменной). Внимание! Если у Вас было несколько выражений для подстановок, то использовать для получения заменявшейся переменной нужно лишь то выражение, из которого делалась подстановка, давшая рассматриваемое значение остававшейся переменной.
См. Пример.
|
Введите Рег № и Пароль,
а затем выберите
Параграф или № задания,
чтобы увидеть
полный текст или подробное решение
|
