Глава VII. Системы уравнений.
§VII.5. Замена переменных в системах.

Замена переменных является одним из способов упрощения систем уравнений, сведения их к решаемому виду и получения удобных подстановок. Заменена может быть как одна переменная из системы уравнений, так и две или даже более.

При проведении замены переменных в системе уравнений возникают следующие проблемы:

1. Подбор замены переменных.
2. Правильное преобразование уравнений.
3. Обратная замена переменных, с учетом возможных ограничений.

Нужно сказать, что подбор самой замены является делом опыта и искусства, не существует общих рекомендаций по проведению замен. Мы можем лишь перечислить основные виды замен, сказать с какой целью

они делаются и указать, что после замены одно уравнение должно стать намного проще, а другое – не сложнее, чем было до замены.

Основные замены:

• Замены вида u = x + k y предназначены чтобы упростить выражения содержащие x² , y² , xy путем исключения из них произведения переменных.

• Замены вида u = x y ; u = ^x/_y направлены на снижение степени в уравнениях систем, обычно они сопровождаются и заменой второй переменной, которая нередко имеет вид u = x + k y.

• С той же целью могут применяться замены вида u = x² + k y².

• Заменены могут быть выражения, стоящие под квадратным корнем, чтобы избавиться от иррациональности в системе.

• Также, чтобы прийти к алгебраическим системам, заменяются тригонометрические функции, экспоненты и логарифмы.

Вообще же возможных вариантов замен очень много, и заранее сказать какие из них могут быть применены невозможно.

См. Пример.

Обычно, когда Вы предположили какую-то замену, одно уравнение преобразуется достаточно легко, поскольку именно в нем Вы обнаружили возможную замену, но другое уравнение при этом бывает преобразовать достаточно сложно. Если Вы не видите преобразования второго уравнения к новым переменным, тогда Вам возможно потребуется выразить старые переменные через новые. Например, в простом случае, когда u = x + k y ; u = x + m y исходные переменные выражаются так:

В других случаях сделать это будет намного сложнее. Поэтому, если Вам не удается выразить старые переменные, тогда, возможно, стоит поискать другой способ решения, например применить еще не испробованные Вами алгебраические преобразования.

Относительно третьего нашего пункта нужно сказать, что необходимо помнить об областях определения введенных переменных, например, переменные и u = x² + y² всегда положительны.