Глава VII. Системы уравнений.
§VII.6. Специфика иррациональности в системах уравнений.

Здесь мы будем рассматривать системы уравнений, содержащие квадратные корни, дробные степени и прочие иррациональные выражения.

В системах уравнений под одним корнем может находится не одна переменная, а несколько. В результате выписать границы в виде чисел или даже формул не всегда возможно. Это же относиться к дополнительным условиям, которые будут возникать при возведении в квадрат отдельных уравнений системы. Поэтому рекомендуется:

1. Выписать неравенства, определяющие ОДЗ, но не решать их.

2. Выписать неравенства, задающие ДУ, и также не решать их.

3. Решить систему уравнений, не учитывая ОДЗ и ДУ.

4. А только после этого проверить каждую пару (набор) решений на выполнение всех неравенств, задающих ОДЗ и ДУ.

Решать же систему уравнений с квадратными корнями можно по следующей схеме:

1. Попытаться применить замену переменной, которая избавит систему от иррациональностей. Помните, что если объявить новой переменной квадратный корень, то новая переменная должна быть неотрицательна. При обратной замене переменных нужно будет учитывать ограничения из ОДЗ и ДУ.

2. Попытаться сделать замену в одном уравнении, так чтобы привести его к разрешимому виду.

3. Попытаться провести алгебраические преобразования системы, с тем чтобы уменьшить количество корней в ней.

4. Производить возведение в квадрат, не забывая о ДУ, причем после каждого возведения в квадрат смотреть, нельзя ли исключить корни из одних уравнений, опираясь на подстановки, вытекающие из других уравнений системы.

См. Пример.