Глава VIII. Уравнения и неравенства с log и exp функциями.
§VIII.1. Свойства логарифмической и показательной функций.

В этой главе будут рассматриваться логарифмические уравнения и неравенства (т.е. уравнения, содержащие логарифм, и неравенства с логарифмом), а также показательные уравнения и неравенства. Будут рассмотрены также уравнения и с логарифмом, и с экспонентой. Но прежде чем рассматривать методы решения логарифмических и показательных уравнений, а также неравенств нужно повторить некоторые свойства логарифма и экспоненты.

При решении уравнений и неравенств с логарифмическими и показательными функциями используют следующие свойства этих функций:

Свойства логарифмической функции:

1. 

2. log_{a a = 1 ; loga a^k = k ; loga 1 = 0}

3. 

4. log_{a mⁿ = nloga m (при четных значениях n правильнее было бы записать loga mⁿ = nloga | m |)}

5. 

6. 

7. , и в частности

8. Основание логарифма а должно быть положительным числом, неравным 1; аргумент логарифмической функции n должен быть положительным числом.

Обратите Ваше внимание. Т.е. запись означает, что сначала берется логарифм от числа x по основанию а, а потом он возводится в квадрат. А запись log_{a x²} означает, что сначала вычисляется квадрат величины x, а потом вычисляется логарифм по основанию а.

Свойства показательной функции:

1. a¹ = a ; a⁰ = 1

2. a^{x + y} = a^x a^y; в частности a^{x + 1} = a * a^y. А также

3. ( a b )^x = a^x b^x . Свойство используется при разложении на множители, например 10^x = 2^x 5^x.

4. , например 9^x = 3^2x = ( 3^x )². Свойство часто используется при заменах переменных.

5. 

6. ; и в частности a ^x = e ^{x lna}.

7. Основание показательной функции a должно быть положительным; значение показательной функции всегда положительно.

Обратите Ваше внимание. К суммам и разностям двух показательных функций всегда можно применять формулы разложения на множители (разность квадратов, разность кубов, сумму кубов и т.д.)