Глава VIII. Уравнения и неравенства с log и exp функциями.
§VIII.2. Основные методы решения.
Основным способом решения логарифмических уравнений является возведение основания логарифма в степени, соответствующие правой и левой частям уравнения. Т.е. в обеих частях уравнения должно быть одинаковое основание логарифма. При этом в обеих частях уравнения останутся просто аргументы логарифмической функции. Т.е. логарифмы отбрасываются из обеих частей уравнения. Например, вот так решаются два логарифмических уравнения:
Но при этом нужно помнить, что отбросить мы сможем логарифм, только если в каждой из частей уравнения присутствует всего лишь один логарифм от какого-либо выражения, без множителей, слагаемых и степеней вне логарифма. Например, нельзя отбрасывать напрямую логарифм в следующих случаях:
А нужно сначала привести данные уравнения к следующему виду:
Причем приводить ли константы в форму логарифма – дело лично Ваше!
Не забывайте, что аргумент логарифмической функции должен быть положителен, а основание логарифма положительно и не равно 1. Поэтому и возникает в логарифмических уравнениях и неравенствах ОДЗ. Например в уравнении:
ОДЗ будет определяться следующей системой неравенств (т.е. пересечением множеств решений каждого из неравенств):
Внимание. ОДЗ должно быть рассчитано на основании исходного уравнения. Поскольку преобразования с использованием свойств логарифмической функции изменяют ОДЗ. Например, у уравнения:
log3 x + log3 (x + 3) = 1
ОДЗ будет x О ( 0, Ґ ) (можете проверить), а после преобразования этого уравнения к виду, необходимому для снятия логарифма:
ОДЗ будет  .
Основным методом решения показательных уравнений является логарифмирование. Причем логарифмирование может, зачастую, производиться по любому основанию. Но перед проведением логарифмирования в обеих частях уравнения не должно быть суммы или разности, если от суммы или разности не удается избавиться, то нужно искать замену переменных. Например:
Перед проведением логарифмирования нужно избавиться от произведения, которое нужно превратить в сумму степеней, от вложенных степеней, которые нужно превратить в произведение степеней, и, желательно, от разных оснований показательных функций. Так например, уравнения:
Должны перед логарифмированием быть преобразованы к такому виду:
Если в показательном уравнении имеется переменная величина в основании, тогда нужно вычислить ОДЗ данного уравнения, оно задается неравенством: “Основание показательной функции > 0”.
И еще об уравнениях с переменным основанием показательной функции. Помните, уравнение вида “Переменная в переменной степени = 1” (именно 1 в правой части) имеет два типа решений:
- Основание равно 1;
- Степень равна 0.
Например, в уравнении
есть два решения: “x1 = –1” и “x2 = 3”.
|
