Глава VIII. Уравнения и неравенства с log и exp функциями.
§VIII.3. Замена оснований и сокращения.

Уже говорилось, что для снятия логарифма в обеих частях уравнения должны находиться логарифмы с одинаковым основанием. Если основания различны, тогда нужно привести все логарифмы к одному основанию. Обычно общим основанием становится одно из оснований логарифмов, присутствующих в уравнении. Желательно, чтобы это было самое простое основание. Например, из оснований 3 и нужно выбирать “3”; из оснований , x² + 4 x + 2 и x желательно выбрать основание “x”; но в случае оснований и x² + 2 желательно переходить к основанию “2”. Т.е. желательно упрощать основания логарифмов, используя свойство №7, при этом из них должны исчезнуть степени и корни.

Заметьте, что замена основания в логарифмах приводит к появлению логарифмов в знаменателе. Если эти логарифмы не рассчитываются и не сокращаются, тогда с ними можно бороться заменой переменных или переносом в другую часть уравнения. Например, уравнение:

Внимание. При решении неравенств нужно помнить о смене знака неравенства при домножении на отрицательное число. Так например, в последнем примере, если бы это было неравенство, при умножении обеих частей неравенства на log₃ x знак неравенства поменяется на интервале x О ( 0 ; 1) и не поменяется на интервале x О [ 1 ; + Ґ ). Эти два интервала нужно рассматривать по отдельности, а затем объединять ответы.

–

Перед заменой оснований в логарифмах, в том числе для упрощения перехода к единому основанию, можно проверить, нельзя ли упростить логарифмы. Имеется в виду использование свойств №3 и №2. Т.е. нужно представить наиболее сложные аргументы логарифмических функций в виде произведения, затем использовать свойство логарифма произведения, и наконец, сократить, по возможности, те логарифмы, где основание и аргумент совпадают с точностью до степени, т.е. использовать свойство №2. Например, выражение:

При переходе от более сложного основания к более простому иногда можно произвести упрощение аргумента логарифмической функции и после замены основания.

Заметьте, что наличие в уравнении каких-либо чисел-слагаемых, и наличие многочленов второй и более высоких степеней в качестве аргументов и оснований логарифмов должно натолкнуть Вас на мысль о возможности преобразований.

–

Замена оснований возможна и в показательных уравнениях, но там она происходит при переходе от переменного основания к фиксированному и выражается в умножении показателя на логарифм старого основания по новому основанию, т.е. используется свойство №6. Например, в уравнении: