Глава VIII. Уравнения и неравенства с log и exp функциями.
§VIII.4. Замены переменных.

Основными случаями применения замены переменных в уравнениях и неравенствах с логарифмическими и показательными функциями являются следующие случаи:

1. Когда хотя бы в одной части показательного уравнения или неравенства имеется несколько слагаемых, которые не удается преобразовать. В этом случае новой переменной объявляется одно из слагаемых.
   Например, в уравнении 2^{2 x} + 2^{– 2 x} = 8 новой переменной будет 2 ^{2 x}.

2. В логарифмических уравнениях присутствуют дроби, умножение логарифмов или их деление. Причем перенос в другую часть неравенства одного из логарифмов ничего не дает.
   Пример: в уравнении после его преобразования к виду можно сделать замену переменной t = log₃ x, которая превратит это уравнение в рациональное:

3. Преобразование логарифмического уравнения с помощью свойств логарифма приводит к слишком сложному для решения уравнению.

4. В логарифмическом уравнении присутствует (k может быть отрицательной), вместе с обычными логарифмами по основанию а. В этом случае бывает возможна замена переменной t = log_a x , которая должна превращать рассматриваемое уравнение в алгебраическое уравнение степени k.

Если в уравнении несколько раз повторяется одно и тоже выражение (возможно с некоторыми вариациями), тогда наиболее часто встречающееся выражение и будет новой переменной.