|
|
Глава VIII. Уравнения и неравенства с log и exp функциями.
§VIII.5. Смена знака в неравенствах.
И логарифмическая, и показательная функция могут быть либо монотонно убывающей (при основании < 1 ), либо монотонно возрастающей ( при основании больше 1 ). Если функция является монотонно возрастающей, тогда ее значение будет тем больше, чем больше аргумент. Поэтому, если основание логарифма или основание показательной функции больше 1, то при снятии логарифма или экспоненты знак неравенства сохраняется. Если функция монотонно убывает, то ее значение тем меньше, чем больше аргумент. Поэтому, при основании меньше 1 знак неравенства изменяется на противоположный.
Это очень важное свойство, о котором, тем не менее, очень часто забывают.
См. Пример.
С этим свойством логарифмических и показательных неравенств нужно быть очень внимательным при решении неравенств с переменным показателем, в том числе неравенств с параметром в показателе. В этих случаях всегда надо рассматривать два отдельных интервала: 1) те значения переменной или параметра, когда основание больше 1; и 2) те их значения, когда основание меньше 1. Например, в неравенстве
При x > – 1 основание логарифма больше 1, и при снятии логарифма получится неравенство:
– x2 – 3 x – 1,5 > ( x + 2 ) 2
А при x < – 1 основание логарифма окажется меньше 1, и неравенство после снятия логарифма будет таким:
– x2 – 3 x – 1,5 < ( x + 2 ) 2
|
Введите Рег № и Пароль,
а затем выберите
Параграф или № задания,
чтобы увидеть
полный текст или подробное решение
|
