Глава IX. Системы уравнений, содержащие логарифмы и экспоненты.
§IX.1. Основные пути решения.

В этой главе мы рассмотрим системы уравнений, содержащие логарифмические и экспоненциальные (показательные) функции. Чтобы научится решать эти уравнения необходимо изучить Главу 7 (системы алгебраических уравнений) и Главу 8 (Уравнения и неравенства с логарифмами и показательными функциями).

Системы уравнений с логарифмами и экспонентами можно условно разделить на несколько классов в зависимости от типов входящих в систему уравнений и используемых способов решения:

1. Одно из уравнений системы содержит логарифм или экспоненту, а другое уравнение является относительно простым алгебраическим уравнением. В этом случае из второго уравнения делается подстановка в первое уравнение и оно решается как логарифмическое (показательное) уравнение с одной переменной. Надо только помнить, что может быть несколько подстановок, например из уравнения x² = y² следуют две подстановки:
   x = – y ; x = y.

2. Родственными классу 1) будут системы уравнений, в которых уравнение, не содержащее логарифмических и показательных выражений является разрешимым, что позволяет получить подстановку. Об этом смотрите в Главе 7.См. учебник.

3. Разрешимым является уравнение, содержащее логарифмические или показательные функции. Из него делается подстановка в другое уравнение, которое может иметь любой вид.

4. Оба уравнения содержат логарифмические или показательные функции, при этом не являются разрешимыми. Но хотя бы одно из этих уравнений, за счет преобразований с использованием свойств логарифмов и степеней приводится к алгебраическому виду, из которого делается подстановка.

5. Оба уравнения содержат или логарифмы или показательные выражения, причем ни одно из уравнений не выгладит разрешимым, в этом случае скорее всего потребуются замены переменных, причем замену, возможно, придется поискать, а систему преобразовать, используя свойства логарифмической и показательной функции.

6. Одно из уравнений содержит логарифмическое выражение, а другое – показательное. Здесь, если ни одно из уравнений не разрешимо, скорее всего, нужно прологарифмировать показательное уравнение, а затем следовать либо пункту 4, либо пункту 5.

Разумеется, существуют системы, не вписывающиеся в эту классификацию. Эти системы придется преобразовывать, используя свойства логарифмов и экспонент, а также других функций, возможно удастся применить промежуточные подстановки или произвести сложение/вычитание или умножение/деление уравнений, пока не удастся подогнать их под какой-либо вариант. Советуем на экзамене оставить их напоследок.

При решении логарифмических и показательных систем нужно помнить о наличии ОДЗ. Сразу рекомендуем выписать неравенства, определяющие ОДЗ, но решать их необязательно. Нужно лишь проверить на соответствие ОДЗ подстановки. ( Например, если в одном из уравнений системы присутствует выражение log_a xy, которому в ОДЗ соответствует неравенство x y> 0, а из второго уравнения следуют подстановки x= ± y, тогда подстановка x= – y не подходит по ОДЗ, так как ее применение к ОДЗ означает появление невыполнимого неравенства: – y² > 0. ) Также нужно проверить на соответствие ОДЗ полученные решения.