Глава IX. Системы уравнений, содержащие логарифмы и экспоненты.
§IX.3. Возможная разрешимость одного из уравнений.

Постараемся перечислить типы разрешимых уравнений, которые могут встретиться в системах, или к которым можно свести уравнения из систем, содержащих логарифмические и показательные функции:

1. log_x y + log_y x = a. Уравнение решается заменой основания в одном из логарифмов и последующей заменой переменных. Тот же подход применим, если основания и аргументы являются некоторыми выражениями от x и y, возведенными в некоторые (пусть даже разные в разных слагаемых) степени.

2. Показательные уравнения содержащие сумму показательных функций, например
   x ^y + x ^{– y} = 4 или . Данные уравнения сводятся, обычно, к квадратным уравнениям объявлением одного из показательных слагаемых новой переменной. Решение этих уравнений может напрямую давать подстановку, применимую для решения второго уравнения, но может привести к более простому уравнению. В последнем случае скорее всего будет получена система решаемая заменой переменных. Например, второе уравнение, приведенное в качестве примера выше, при решении даст два уравнения: и . Таким образом возникнут две системы, ответы которых надо будет объединить.

3. log_{g(x, y)} f( x , y ) = n, простейшее логарифмическое уравнение, в котором, однако, надо правильно выписать все ОДЗ. Как вариант этого уравнения можно упомянуть уравнение:
   log_{g(x, y)} f( x , y ) = n + ¹/₂, приводящее к иррациональному уравнению .

4. Уравнение-ловушка . Очень часто забывают, что у этого уравнения два типа решений:
   g( x , y ) = 1 и f( x , y ) = 0 и записывают лишь второе решение. А при этом зачастую система составлена так, что второй тип решений не подходит, скажем по ОДЗ. Родственником этого уравнения является уравнение .

5. Редким вариантом разрешимого уравнения является уравнение, содержащее степени логарифмов, например: , сводимое к виду и решаемое заменой log_a ^x/_y на новую переменную.