Математический Анализ студентам. Функции нескольких переменных. Частные производные. Экстремумы.

Это желательно помнить: Справочник.

Этот раздел посвящается функциям нескольких переменных : их дифференцированию (в т.ч. по направлению), определению максимумов и минимумов (в т.ч. условных максимумов и минимумов функций многих переменных), а также разложению функций нескольких переменных в степенной ряд.

Содержание.

Глава 12. Функции нескольких переменных. Частные производные.

1. Функция нескольких переменных. Предел Функции нескольких переменных.
   
2. Непрерывность Функции нескольких переменных. Свойства непрерывных функций и пределов. [смотреть полностью]
   
3. Частная производная. Дифференцируемость Функции нескольких переменных. [смотреть полностью]
   № 1
   Найти частные производные функции: x e ^{x y} – y ²Объявления переменных константами.
       № 2
   
       № 3
   
      
4. Дифференцирование сложной функции. Дифференциал. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. [смотреть полностью]
   № 4
   Найти частные производные функции: ( x ² + y ² ) ^{sin x yПо правилу дифференцирования сложной функции нескольких переменных.}
      
5. Производная по направлению. Градиент Функции. [смотреть полностью]
   № 5
   Определить градиент и производную по направлению l = ( 0,6 ; – 0,8 ) функции x ³ y – 2 y ² в точке x = 1; y = 3
   Расчета частных производных и скалярного произведения.
       № 6
   Определить градиент и производную по направлению, задаваемому вектором L = ( 2 ; 2 ; 1 ) функции ln ( x ² + 2 y ² + 3 z ² ) в точке x = 1; y = 2; z = 1
   Расчета частных производных и скалярного произведения.
      

Глава 13. Частные производные и Дифференциалы высших порядков. Ряд Тейлора для функций многих переменных.

1. Частные производные высших порядков. [смотреть полностью]
   № 1
   
      
2. Дифференциалы высших порядков. [смотреть полностью]
   № 2
   
      
3. Ряд Тейлора для функций нескольких переменных. [смотреть полностью]
   № 3
   Разложить в степенной ряд функцию : (, ) = ln ( ) В точке x = 1 ; y = 1.Преобразования и применения стандартных рядов.
      

Глава 14. Минимумы и максимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. Условные экстремумы функций нескольких переменных.

1. Экстремумы функций многих переменных. Необходимые условия экстремума. Стационарные точки.
   № 1
   Найти геометрическое место стационарных точек функции : (,) = ln ( + ) + ln( – ) – x ² + y ²Вычисления частных производных.
       № 2
   Найти стационарные точки функции : (,) = x ^1,5 y ( 3 – x – y ) ^0,5Вычисления частных производных.
      
2. Достаточные условия экстремума. Седловые точки. [смотреть полностью]
   № 3
   Найти точки максимума и минимума функции : (,) = x ³ + y ² – 2 x ² y – 6 x yВычисления частных производных и тестирования знакопостоянства квадратичной формы.
       № 4
   Найти точки максимума и минимума функции : (,) = ln y – yВычисления частных производных и тестирования знакопостоянства квадратичной формы.
       № 5
   Найти точки максимума и минимума функции : (,) = sin ln y – yВычисления частных производных и тестирования знакопостоянства квадратичной формы.
      
3. Условные экстремумы. Прямой метод отыскания условного экстремума. [смотреть полностью]
   № 6
   Найти точки максимума и минимума функции : (x,y,z) = 4 x ² + x y + y ² – x z + z ² На плоскости, заданной уравнением : x – 2 y + z = 8Прямым отысканием условного экстремума с помощью подстановки.
      
4. Метод неопределенных множителей Лагранжа. [смотреть полностью]
   № 7
   Найти точки максимума и минимума функции : (,) = x ³ – x ² y – 2 x y ² + y ³ На прямой, заданной уравнением : x – y = 2Использования неопределенных множителей Лагранжа.