Предел последовательности.
Определение: Последовательность. Предел последовательности. Единственность предела.

Последовательность элементов некоторого множества Х (обозначается { x_n } ) есть отображение множества натуральных чисел в множество Х. Другими словами, последовательность это набор элементов множества Х, причем в этом наборе элементы могут повторяться, в котором каждому элементу приписан уникальный номер. В частности последовательность действительных чисел это занумерованное множество действительных чисел x₁ , x₂ , x₃ ,…, x_n ,…. Примерами последовательностей действительных числе могут быть : 1 , ¹/₂ , ¹/₃ , ¹/₄ , … , ¹/_n , …; а также 1, 0, – 1, 0, 1, 0, – 1, ….

Последовательность действительных чисел может быть задана одним из трех способов:

1. Перечислением нескольких членов последовательности по которым с помощью экстраполяции можно определить остальные члены.
2. Записью формулы для расчета значения x_n в виде формулы в которую входит n, т.е. задание x_n , как функции от n. Например : x_n = n : ( 2 n +5 )
3. Рекуррентной формулой для расчета x_n+1 по значению x_n, а также, возможно, n и прочих членов последовательности. Например x_n+1 = ( 0,5 + ²/_n ) x_n .

Будем называть расширенным множеством действительных чисел (или, что почти тоже самое, расширенной числовой прямой) множество действительных чисел, дополненное двумя бесконечно удаленными точками +Ґ и –Ґ. e окрестностью точки +Ґ является интервал от ¹/_e до +Ґ e окрестностью точки –Ґ является интервал от –¹/_e до –Ґ. Напомним, что для прочих точек e окрестности точки a есть интервал x О ( a – e ; a + e ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Некоторая точка числовой прямой a называется пределом последовательности { x_n } , если все для всякого e найдется номер N, начиная с которого все члены последовательности лежат в e окрестности точки a.

Из этого определения следует, что только ограниченное число членов последовательности не лежат в e окрестности точки а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность имеет конечный предел, если ее предел не равен ни +Ґ, ни –Ґ. Последовательность имеющая конечный предел называется сходящейся. Последовательность пределом которой является Ґ называется бесконечно большой.

Примеры:

1. Последовательность x_n = ¹/_n является сходящейся и имеет предел 0.
2. Последовательность 1, 0, – 1, 0, 1, 0, – 1, … не имеет предела.
3. Последовательность x_n = n³ не является сходящейся, но имеет предел +Ґ.

Замечание. Понятие предела можно обобщить и для последовательностей чисел из расширенного множества действительных чисел.

Единственность предела.

Т. Если последовательность действительных чисел имеет предел, то этот предел единственен.

Данная теорема доказывается от противного. Предполагается, что у некоторой последовательности имеется два предела a и b. Берем число e так, чтобы интервал ( a – e ; a + e ) не пересекался с ( b – e ; b + e ). По определению предела с некоторого номера N_a все члены последовательности должны находится в ( a – e ; a + e ), однако по этому же определению с некоторого номера N_b все члены последовательности должны находится в ( b – e ; b + e ) , но члены последовательности не могут находится одновременно в этих интервалах, т.к. интервалы не пересекаются.

Критерий Коши.

Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяло условию : для любого e найдется n₀ такое, что для любых n и m бOльших, чем n₀ будет выполняться неравенство :