Предел последовательности.
Подпоследовательности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность { x_n } называется возрастающей (убывающей),
если для всех n выполняется неравенство : x_n+1 і x_n ( для убывающей -- x_n і x_n+1 ).
Последовательность { x_n } называется строго возрастающей (строго убывающей)
если для всех n выполняется неравенство : x_n+1 > x_n ( для убывающей -- x_n > x_n+1 ).
Убывающие и возрастающие последовательности именуются монотонными, а строго убывающие и строго возрастающие – строго монотонными.

Т. (Теорема Вейерштрасса) Всякая возрастающая последовательность имеет предел, причем если она ограничена сверху, то этот предел конечен, причем . Всякая убывающая последовательность имеет предел, причем если она ограничена снизу, то этот предел конечен, причем .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подпоследовательностью последовательности { x_n } называется последовательность { xn_k }, составленная из некоторых членов последовательности { x_n }, взятых в порядке возрастания номеров n_k.

В последовательности { xn_k } k является номером члена xn_k в этой последовательности, а n_k – номером этого члена в исходной последовательности.
Подпоследовательности считаются различными, если им соответствуют разные последовательности номеров n_k даже если все члены сравниваемых подпоследовательностей совпадают. В множество всех подпоследовательностей некоторой последовательности { x_n } входит и сама последовательность { x_n }.

Т. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Из любой неограниченной сверху (снизу) последовательности можно выделить подпоследовательность с пределом +Ґ (– Ґ).
( Первое утверждение этой теоремы именуется теоремой Больцано-Вейерштрасса или принципом компактности отрезка. Неограниченной сверху (снизу) считается последовательность в которой бесконечное количество членов больше (меньше) любого конечного числа. )

Рассмотрим ограниченную последовательность т.е. для нее существуют a и b такие, что x О [ a ; b ]. Разделим этот отрезок пополам. Покрайней мере в одной из половин этого отрезка содержится бесконечное число элементов исходной последовательности, эту половину обозначим [ a₁ ; b₁ ]. В нем мы выберем x_n с минимальным номером, обозначим этот член xn₁.
Вновь разделим отрезок [ a₁ ; b₁ ] надвое. Ту половину, где бесконечное число элементов последовательности, обозначим [ a₂ ; b₂ ]. На этом отрезке мы выберем x_n с минимальным номером, большим, чем n₁ , обозначим этот член xn₂.
Будем продолжать эту процедуру. В результате нее мы получим бесконечную систему отрезков со стремящейся к нулю длиной. Причем { a_n} является возрастающей последовательностью, а { b_n } – убывающей. Эти последовательности имеют предел и их пределы совпадают, поскольку длина отрезка стремится к нулю. А т.к. { xn_k } зажата между { a_n } и { b_n } , то она имеет точно такой же предел.

В случае неограниченной сверху последовательности первым членом искомой подпоследовательности будет x_n большее 1. Вторым членом будет xn₂ большее 2, такое, что n₂ > n₁. Такой член всегда найдется потому, что больше 2 в неограниченной последовательности бесконечное количество членов.
Продолжая этот процедуру мы получим последовательность, в которой xn_k будет больше k, а значит это бесконечно большая последовательность.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предел подпоследовательности (конечный или равный Ґ со знаком) называется частичным пределом первоначальной последовательности.

Из приведенной выше теоремы следует, что последовательность всегда имеет хотя бы один частичный предел.