Числовые ряды.
Определение числового ряда. Свойства числовых рядов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пара числовых последовательностей { a_n } и { S_n } , где называется (числовым) рядом (или бесконечной суммой) и обозначается . Элементы последовательности { a_n } называют членами ряда, а элементы последовательности { S_n } – частичными суммами ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует конечный предел последовательности { S_n } , который мы обозначим S, тогда S называют суммой ряда; а сам ряд именуют сходящимся и пишут : . Если же последовательность { S_n } не имеет конечного предела, ряд именуют расходящимся.

Для задания ряда достаточно задать только одну из последовательностей { a_n } или { S_n }. Сходимость ряда эквивалентна сходимости последовательности { S_n } , и поэтому исследование ряда можно свести к исследованию последовательности { S_n }.

Свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится, тогда последовательность членов ряда { a_n } имеет предел равный нулю. (Свойство следует из Критерия Коши для сходимости последовательности { S_n }. )
2. (Сходимость линейной комбинации) Если два ряда сходятся, то сходится и их линейная комбинация, причем : (Свойство следует из свойства сходимости линейной комбинации последовательностей, примененного к последовательностям частичных сумм.)
3. Для ряда назовем k-ым остатком ряда ряд вида . Если ряд сходится, тогда сходится и любой его остаток. Если сходится какой-то из остатков, тогда сходится и весь ряд, причем если обозначить R_n сумму n-го остатка ряда, тогда при любых значениях n выполнено равенство : S = S_n + R_n
4. Из предыдущего свойства следует, что остатки сходящегося ряда стремятся к нулю.