Функциональные ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора. Разложение в степенной ряд.
Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Свойства.

Пусть на множестве X задана последовательность функций f_n , принимающих действительные значения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эта последовательность называется сходящейся, если при любом x О X числовая последовательность { f_n (x) } сходится. При этом функция f, определенная как при всех значениях x О X ; называется пределом последовательности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если на множестве Х задана последовательность числовых функций a_n , тогда (функциональным) рядом на множестве Х, который обозначается , называется множество числовых рядов вида , получаемых если зафиксировать x в каждой из функций a_n. Функция называется частичной суммой ряда, а предел последовательности S_n(x) именуют суммой ряда. И если таковой предел существует, функциональных ряд называют сходящимся.

Нужно отметить, что свойства непрерывности и дифференцируемости суммы функций нельзя переносить на бесконечную сумму функций, т.е. сумма ряда, состоящего из непрерывных функций может не обладать свойством непрерывности, а сумма ряда, состоящего из дифференцируемых функций, свойствами дифференцируемости и непрерывности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функциональная последовательность { f_n(x) } равномерно сходится на множестве Х к функции f(x), если для любого положительного e найдется номер n₀ , что для всех n после этого номера и для всех x О X выполнено неравенство :

Заметим, что в случае обыкновенной сходимости последовательности { f_n(x) } к функции f(x) для каждой точки множества Х существует свой номер n₀ , начиная с которого выполняется неравенство :

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд равномерно сходится на множестве Х, если равномерно сходится последовательность его частичных сумм. Из равномерной сходимости ряда всегда вытекает его обычная сходимость.

Свойства равномерно сходящихся рядов :

1. Если два ряда равномерно сходятся на Х, тогда равномерно сходится и их линейная комбинация.
2. Из равномерной сходимости ряда вытекает равномерная сходимость последовательности его членов, a_n(x), к нулю.
3. Если ряд равномерно сходится на множестве Х и f(x) ограниченная функция на Х, тогда ряд также равномерно сходится на Х.
4. Если числовой ряд с неотрицательными членами сходится и для всех функций a_n(x) выполняется неравенство | a_n(x) | Ј u_n тогда ряд сходится абсолютно и равномерно.
5. Если ряд сходится равномерно и все функции a_n(x) непрерывны на множестве Х, тогда сумма ряда также является непрерывной функцией.
6. Есть ряд сходится равномерно и все функции a_n(x) непрерывны на отрезке [ b, d ], тогда какова бы ни была точка x₀ О [ b, d ], ряд равномерно сходится на этом отрезке, причем Т.е. при равномерной сходимости ряда, ряд можно почленно интегрировать.
7. Если все члены ряда являются дифференцируемыми функциями на отрезке [ b, d ], тогда сумма этого ряда также является дифференцируемой функцией и :