|
|
Функциональные ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора. Разложение в степенной ряд.
Формула Тейлора. Аналитические функции. Разложение функции в ряд Тейлора.
Итак, пусть функция f(x) имеет в точке x0 n производных. И будем искать аппроксимирующий ее многочлен степени n вида :  .
Чтобы этот многочлен был равен в точке x0 функции f, необходимо, чтобы a0 = f(x0). Далее разумно предположить, что многочлен должен быть в точке x0 аналогом функции f. А это означает, что все производные многочлена и функции f должны быть одинаковы. k-ая производная многочлена P равна k! ak , поэтому  .
Таким образом :
Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Теперь положим, что функция f имеет бесконечное число производных. В этом случае оказывается, что формула Тейлора позволяет представить функцию f(x) в виде ряда :
Который, как и формула, называется рядом Тейлора.
Но этот ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Более того, может сложиться такая ситуация, что ряд с коэффициентами, рассчитанными по формуле Тейлора, не будет сходиться к f.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функции, которые раскладываются в степенной ряд носят название аналитических.
|
Введите Рег № и Пароль,
а затем выберите
Параграф или № задания,
чтобы увидеть
полный текст или подробное решение
|
