Функциональные ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора. Разложение в степенной ряд.
Разложение уравнений в степенной ряд.

Здесь мы рассмотрим один из вариантов разложения в ряд дифференциальных уравнений и покажем, как этот вариант можно использовать для разложения в ряд функций, удовлетворяющих подобным уравнениям.

Предположим, что функция y(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению yў = f(y). Причем f(x) раскладывается в степенной ряд : . Тогда наше дифференциальное уравнение можно переписать в виде :

Будем считать, что функцию y(x) и ее производную можно представить в виде ряда :

Причем A_n зависит от коэффициентов a_k Ј n.

Делая подстановку этих рядов в дифференциальное уравнение, получаем:

Чтобы ряды, стоящие в обеих частях уравнения, совпадали в некоторой окрестности нуля, необходимо, чтобы совпадали коэффициенты при всех степенях x, т.е. :