Функции нескольких переменных. Частные производные.
Функция нескольких переменных. Предел Функции нескольких переменных.
Мы будем рассматривать действительные функции на n-мерных множествах действительных векторов. Но сначала нам потребуется несколько определений :
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Набор из n чисел x = ( x1 ; x2 ; … ; xn ) называется n-мерным вектором.
Множество всех векторов, получаемое при пробегании каждым из n чисел xk всего множества действительных чисел называется n-мерным арифметическим евклидовым пространством. (обозначается Rn)
В данном пространстве введены операции умножения вектора на число и сложения векторов:
a x + b y = ( a x1 +b y1 ; a x2 + b y2 ; …… ; a xn + b yn )
А также скалярное произведение векторов:
(x , y) = x1 y1 + x2 y2 + …… xn yn
На основании скалярного произведения вводится понятие длины вектора :
и расстояния между векторами : r(x, y) = | x – y |.
Для скалярного произведения выполняются неравенства :
(x, y) Ј | x | | y | и | x + y | Ј |x| + |y|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. e-окрестностью точки x в пространстве Rn называется n-мерный открытый шар радиуса e с центром в точке x, состоящий из всех точек y, таких, что r(x, y) < e.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x именуется пределом последовательности { x(k) } если  . Соответственно, последовательность { x(k) } называют сходящейся к точке x.
Для того, чтобы последовательность { x(k) } сходилась к точке x необходимо и достаточно, чтобы все последовательности отдельных координат векторов x(k) сходились к соответствующим координатам вектора x, т.е.  .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество, из каждой последовательности точек которого можно выделить сходящуюся подпоследовательность, именуется компактом. Чтобы множество было компактом необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным и замкнутым.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцию f называют функцией нескольких переменных, если она задана на множестве Х, входящем в n-мерное пространство и отображает множество X в множество действительных чисел.
Для наглядного представления функций нескольки переменных используют график функции ( но построение графика слишком сложно при количестве переменных более 2), а также линии (поверхности) уровня, т.е. семейство линий, каждая из которых есть геометрическое место точек x таких, что f(x) = Const.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка a есть предел функции нескольких переменных f(x) в точке y, если для любой последовательности { x(k) }, сходящейся к точке y, последовательность { f( x(k) ) } сходится к точке a.
Предел функции может быть взят как по всему множеству Х так и по некоторому его подмножеству Y, если в Y присутствуют последовательности сходящиеся к y. При этом множество Y может быть прямой, кривой или плоскостью, поверхностью и т.д. Если у функции существует предел, то у нее обязательно существуют и пределы по всем направлениям и всем подмножествам. Но если у функции нет предела, то пределы по различным направлениям могут быть различны.
|
